Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 3. A valószínűség
Megoldás. Először bármely kettő, majd a három esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét hasonlítjuk össze az A, B és C események valószínűségeinek szorzatával. A valószínűségek kiszámításakor a klasszikus számítási mód alkalmazható. P(A) = P{B) = P(Q= - = AB = {3, 4}, AC={3,4}, BC={3,4}, ezért 8 2 P(AB) = P(AQ = P(BQ=l=1-. Látható, hogy P(AB) = P(A)P(B), P(AC) = 8 4 = P(A)P(C), és P(BC) = P(B)P(C), tehát az A, B, C események közül bármelyik kettő független, vagyis az események páronként függetlenek. ABC={3,4}, ezért P(ABC) = -, de P(ABC) ^ P(A)P(B)P(C), tehát a három esemény már nem független (azaz a három esemény között kapcsolat van, esetünkben két esemény együttes bekövetkezése maga után vonja a harmadik bekövetkezését is). Gyakori hiba a független és az egymást kizáró események fogalmának keverése. Először nézzük meg, mit mondhatunk két egymást kizáró esemény függetlenségéről! Ha A és B egymást kizáró események, vagyis egyszerre sosem következnek be (AB = 0), akkor P(AB) = 0; de csak akkor lehetnek egymástól függetlenek, ha P(AB) = P(A)P(B). Tehát P{A)P(B) — 0. Ebből következik, hogy két egymást kizáró esemény csak akkor független, ha legalább az egyik bekövetkezésének valószínűsége 0. (Ez nem jelenti azt, hogy legalább az egyik lehetetlen esemény.) Az előzőből következik, hogy ha két esemény egymást kizárja, és mindkét esemény bekövetkezésének valószínűsége pozitív, akkor a két esemény nem független. Például az A és A egymást kizáró események, de ha 0<P(/1)<1, akkor az A és A események nem függetlenek. Most nézzük meg azt, hogy ha két esemény független, akkor kizárhatják-e egymást! Ha az A és B események függetlenek, azaz P{AB) = P{A)P{B), és mindkét esemény valószínűsége pozitív, akkor nem lehetnek egymást kizáró események, mivel P(AB)=£0, vagyis egyszerre is bekövetkeznek. Ha legalább az egyik esemény valószínűsége 0, akkor P(AB) = 0; de ez nem jelenti azt, hogy az AB lehetetlen esemény, vagyis a két esemény kizárja egymást. Végül nézzünk meg egy példát! Bizonyos termékek minőségvizsgálatakor A jelentse azt az eseményt, hogy egy termék mérethibás, B pedig azt, hogy a termék selejt. Ekkor az A esemény bekövetkezésekor a B mindig bekövetkezik, azaz AczB, ezért AB —A; így P(AB) = P(A), de P(B)j= 1 (a vizsgált termékek között megfelelő is van), tehát az A és a B események nem függetlenek, de nem is egymást kizáróak. A korábbiakban többször mondtuk, hogy egy kísérletet azonos körülmények között n-szer megismétlünk. A következő definíció szerint röviden független kísérletekről beszélhetünk. Definíció. Két vagy több kísérletet függetlennek nevezünk, ha az egyikkel kapcsolatos bármely esemény független a többivel kapcsolatos bármely eseménytől. Természetesen a kísérletek függetlenségének definíciója különböző jellegű kísérletekre is vonatkozik. Az események és a kísérletek függetlenségének igazolása a matematikai statisztika módszereivel történik. A valószínűségszámításban, amikor 38
