Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 3. A valószínűség

a bizonyítás során is fellépő - a két eseményben szimmetrikus összefüggést fogadjuk el.

Definíció. Két eseményt függetlennek nevezünk, ha együttes bekövetkezésük valószínűsége a két esemény valószínűségének szorzata; azaz az A és B események függetlenek, ha

P(AB) = P(A)P(B).

Mivel a P(AB) = P(A)P(B) összefüggést tekintjük a függetlenség definíciójának, ezért ha P(A) = 0 vagy P(A)=l, akkor az A minden B eseménytől független. Ha P(A) = 0, akkor P(AB) = 0, mivel nyilvánvalóan teljesül, hogy 0^P(AB)^P(A). Ha pedig P(A)= 1, akkor P(A + B) = 1, minthogy P(A)^P(A + B)^ 1, de a 3.2.1 pont

4. tétele szerint P(A + B) = P(A) + P(B)- P(AB); ezért P{AB) = P(B). Bebizonyítottuk tehát, hogy az A és B események függetlenek.

Ha az A és B események függetlenek, akkor a tapasztalat alapján azt mondhatjuk, hogy függetlenek az Ä és B, az A és B, az Ä és B események is. Bizonyítsuk is be ezt!

Tétel. Ha két esemény független, akkor bármelyiket az ellentétével helyettesítve, a kapott két esemény is független.

Bizonyítás. Legyen a két független esemény A és B, és helyettesítsük B-1 az ellentétével, Ü-sal. A 3.2.1 pont 3. tétele szerint

P{AB) = P(A ~B) = P(A)-P{AB).

Az A és B függetlenségét, majd a 3.2.1 pont 1. tételét felhasználva

P(AB) = P(A)-P(A)P(B) = P(zl)[l-P(ő)] = P(A)P(B).

P{AB) = P(A)P(B), tehát az A és a B események függetlenek. Az /, B és az Ä, B események függetlensége hasonlóan bizonyítható.

Több esemény függetlenségéről is beszélhetünk, de ehhez nem elég ezek páronkénti függetlensége.

Definíció. Az Au A2, A„ eseményeket teljesen függetleneknek vagy röviden függetleneknek nevezzük, ha közülük bármely k számú különböző esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége az egyes események valószínűségének szorzatával egyenlő.

Példa. Egy urnában 8 darab - 1-től 8-ig számozott - cédula van. Véletlenszerűen kiveszünk egy cédulát. Tekintsük a következő három eseményt: A = {1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6}, C={3, 4, 7, 8}. Mit mondhatunk a három esemény függetlenségéről?

37