Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 3. A valószínűség

Megoldás. Most a feltételt a selejt húzása, vagyis az A esemény jelenti, és a B2 esemény A-ra. vonatkozó feltételes valószínűségét kell kiszámítanunk (az előző példában bevezetett jelölések felhasználásával). A Bayes-tétel szerint

P(B2\A) =

____________________P(A\B2)P(B2)____________________

P(A | B,)P{Bi) + P(A | B2)P{B2) + P{A | B2)P(B3)'

A nevezőben szereplő P(A) valószínűséget az előző példa a) kérdésében már kiszámítottuk, ezért

P{B2\A) =

0,06 • 0,25 0,072

0,015

0,072

0,21.

Tehát az egyetlen kihúzott selejt kb. 21%-os valószínűséggel adódik a 2. heti termelésből.

3.3.3 Az események és a kísérletek függetlensége

A mindennapi életben két eseményt függetlennek mondunk, ha nincsenek egymásra hatással; vagyis ha az egyik bekövetkezése vagy be nem következése a másik bekövetkezésének valószínűségét nem változtatja meg. A feltételes valószínűséggel kézenfekvő, hogy ha P{A\B) = P(A), akkor az A esemény független a B-től. Olyan definíciót szeretnénk adni, melyben a két esemény azonos szerepű; ezért előbb bebizonyítjuk a következő tételt.

Tétel. Ha az A és B események valószínűsége nem 0, és az A esemény a B-től független, akkor a B is független az A-tól.

Bizonyítás. Ha az A esemény független a 5-től, vagyis P(A j B) = P(A), [P(B) #0], akkor a feltételes valószínűség definícióját felhasználva

P(AB)

P(B)

= P(A).

Fejezzük ki ebből P(B)-t [P(/t) A0], majd használjuk fel ismét a feltételes valószínűség definícióját, így:

P{B) = = P(B\A).

P(A) K

Tehát P(B\A) = P(B); és ez azt jelenti, hogy a B esemény független az ^-tól.

Ezek után már nem kell megmondanunk, hogy melyik esemény független a másiktól, egyszerűen a két esemény függetlenségéről beszélhetünk. Definícióként pedig 36