Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 3. A valószínűség
darabot veszünk ki. Az s darabból k darabot -féleképpen választhatunk ki, és ( N—s\ n _ l-féleképpen választhatjuk; ezért a kedvező esetek száma: ■ Tehát annak valószínűsége, hogy az n elemű mintában k darab selejt van - P(Ak) -, a klasszikus számítási mód felhasználásával: P(Ak) = s \ / N—s k ) \n~k N (L. még 5.2 A hipergeometrikus eloszlás.) Ha a mintát nem egyszerre emeljük ki a sokaságból, hanem egymás után vesszük ki a mintaelemeket (egyiket sem tesszük vissza), akkor ugyanazokat az elemeket tartalmazó mintát annyiszor kaphatjuk meg, ahányféle sorrendben ez az n darab elem kihúzható. Ez azt jelenti, hogy ekkor a lehetséges és a kedvező esetek száma az előbbiekének n!-szorosa (1. Függelék, Permutáció), tehát P(Ak) nem változik; vagyis mindegy, hogy melyik visszatevés nélküli mintavételi módot alkalmazzuk. Megjegyezzük, hogy visszatevés nélküli mintavétel egy lottószelvény kitöltése is. Ekkor a 90 elemből 5 elemű mintát választunk. Az, hogy egy héten melyik 5 szám nem lesz „selejt”, a lottóhúzás - egy visszatevés nélküli mintavétel - eredménye alapján derül ki. Most foglalkozzunk a visszatevéses mintavétellel! Legyen N darab termék között s darab selejt. Az N elemű sokaságból n elemű mintát veszünk visszatevéssel. Mi a valószínűsége annak, hogy az n elemű mintában k darab selejt van? Ha minden húzáskor bármelyik terméket ugyanakkora valószínűséggel választjuk ki (ekkor bármely n elemű minta kiválasztásának valószínűsége is egyenlő), akkor a klasszikus számitási mód alkalmazható. Mivel a mintaelemek egymás közti sorrendje számít, és egy elemet akárhányszor kihúzhatunk; ezért egy elemi esemény az N elem egy n-edosztályú ismétléses variációja (1. Függelék). Az elemi események, vagyis a lehetséges esetek száma: N". A kedvező eseteket azok az n elemű minták adják, amelyekben pontosan k darab selejt van. Mivel a mintaelemeket egymás után húzzuk ki, ezért számít az is, hogy hányadik húzásnál veszünk ki selejtet. Először határozzuk meg, hogy hány olyan n elemű minta adódhat, amelynél éppen az első k húzás során veszünk ki selejtet, a többinél pedig jót. Ekkor az első k húzás mindegyikénél éppen az s darab selejtből választunk, /-féleképpen; és bármely k darab selejt mellé a következő n-k húzás során az N — s darab jóból választunk, (N-j)n-*-féleképpen; ezért azoknak a mintáknak a száma, amelyeknél éppen az első k húzás során választunk selejtet: sk(N—s)n~k. Ugyanennyi különböző n elemű minta adódhat akkor is, 27
