Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

II. rész. Matematikai statisztika - 12. Korreláció- és regresszióelmélet

Számítsuk most ki az rj változó £-re vonatkozó regressziós görbéjét, M(t]|£ = x) = p2(x) függvényt!

Mint ismeretes

M(*l lí = *)

y r, \ dy

fix)

00

| yg(y\x)dy,

— oo

az

ahol a = g(y|x) függvény az ij valószínűségi változó feltételes sürüségfüggvéf(x)

nye a £, = x feltétel mellett.

Ha a h(x, y) együttes sűrűségfüggvényt elosztjuk a változó f(x) sűrűségfüggvényével, akkor

, , x h(x, y) _ 1

Ebből a formulából közvetlenül kiolvasható, hogy az rj valószínűségi változó feltételes várható értéke:

M(^|í = x) = Hi{x) = q — (x-mi) + m2.

ÖT

Ez utóbbi formula egy egyenes egyenlete. Ennek alapján a következő tételt mondhatjuk ki.

Tétel. Haarest] valószínűségi változók együttes eloszlása kétdimenziós normális eloszlás, akkor az rj változó tj-re vonatkozó regressziós görbéje az

Látható, hogy x = mi esetén y = m2, vagyis a regressziós egyenes átmegy az (mi; m2) ponton, az eloszlás súlypontján.

A regressziós egyenes egyenlete

y-m2 x-mi

— = Q

02 (Ti

alakban is irható, ami mutatja, hogy a £,* = -—— és tj* = -—— standardizált

(Ti a2

változók esetén >/*-nak a tj* változóra vonatkozó regressziója az origón átmenő egyenes, amelynek iránytangense a g korrelációs együttható.

235