Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
II. rész. Matematikai statisztika - 11. A statisztikai hipotézisek (feltevések) vizsgálata
változóra és a G eloszlásfüggvényű r) valószínűségi változóra vonatkozólag az tf<í! rendezett mintákkal rendelkezünk. Rendezzük a két minta elemeit együtt nagyság szerint növekvő sorrendbe (szemléletesség kedvéért mérjük fel a mintaelemeket a számegyenesre), ezután állapítsuk meg, hogy £ * hányadik helyre került az egyesített sorozatban. Legyen ez a szám ru ekkor azt mondjuk, hogy <!;* rangja r,. Ezután rendre megállapitjuk, hogy ££, £,%, ..., £* hányadik helyre került az egyesített rendezett mintában. Ha a r2-ik helyre került, akkor <Jf rangja r2, s. í. t. Ily módon az <^-re vonatkozó rendezett minta elemeinek rangszámait az ru r2, ..., r„ számok képviselik. Az egyesített mintában a fennmaradó rj%, ..., rj* elemek rangjai legyenek su s2, ..., sm. A két sorozat nyilván kiadja az egész számokat 1-től (n + m)-ig. Könnyen belátható, hogy r x < r2 <... < r„, továbbá ^ i, valamint st<s2< ...<sm és Sj^j. Az rf és Sj számok valószínűségi változók. Ha igaz a H0 hipotézis, hogy a két minta azonos eloszlásból származik, akkor a mintaelemek bármely egymás közti elhelyezkedése egyforma valószínűségű. Minthogy (n + m) helyre n db elhelyezhető el, ezért egy meghatározott sorrend valószínűsége n + m n 1-féle módon n + m A Wilcoxon-próbánál próbastatisztikának a n Wn,m = I (r-0 = I rÍ = 1 Í = 1 statisztikát használjuk, amely additív állandótól eltekintve az mintaelemek rangszámainak összege. Látható, hogy a mintaelemek rangszámainak összegéből azok lehetséges minimális rangszámösszegét vontuk le. Ha ugyanis a £*, £*,..., mintaelemek rangjai rt = 1, r2 = 2,... r„ = n lennének - vagyis az £* minta minden eleme kisebb lenne, mint a rjZ minta legkisebb eleme -, akkor X = \ + 2 + ... + n i= 1 n(n+l) 2 lenne. A W„,m statisztika értéke 0 és nm között változhat, eloszlásáról az alábbi tétel informál bennünket, amelyet bizonyítás nélkül közlünk. 213
