Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

II. rész. Matematikai statisztika - 11. A statisztikai hipotézisek (feltevések) vizsgálata

Mutatunk egy példát becsléses illeszkedésvizsgálatra /2-próbával diszkrét eloszlás esetében.

Példa. A Tisza folyóra vonatkozólag feljegyezték, hogy Tokajnál a c = 600 cm szintet meghaladó árhullámok száma az egyes évek első negyedéveiben (jan.-márc.) az 1903-1971 időszakban, tehát 68 év során a következő módon alakult:

30 olyan év volt, amikor nem volt árhullám (a kérdéses negyedévben);

25 olyan év volt, amikor 1 árhullám volt;

9 olyan év volt, amikor 2 árhullám jött;

4 olyan év volt, amikor 3 vagy több árhullám következett be.

Jelölje a í valószínűségi változó az árhullámok számát Tokajnál az első negyedévben. Mivel a kérdéses időszakban az első negyedévekben összesen 55 árhullám volt,

M{Q = 0,8.

Oo

Legyen a H0 hipotézis, hogy í Poisson-eloszlású A = 0,8 paraméterrel. Az 1. táblázat tartalmazza a megfelelő Poisson-valószínüségeket (Pk) is.

I. táblázat

k

Vfc

Pk

NPk

Ai:

0

30

0,4493

30,55

A2:

1

25

0,3595

24,45

A3:

2

9

0,1438

9,78

A 4:

3 (vagy több)

4

0.0474

3,22

A /2-statisztika aktuális értéke:

0,552 + 30,55

0,352 0,782 0,782

24,45 9,78 3,22

0,165.

Minthogy a A paramétert a mintából becsültük, a ^-eloszlás szabadságfokát 1 -gyei csökkenteni kell, így a ^-eloszlás táblázatának második sorában kell a megfelelő kritikus értéket keresnünk. Ha 0,95 szinten kívánunk dönteni, akkor a táblázat 2. sorának 0,05 oszlopában a kritikus érték: 5,99. Minthogy statisztikánk aktuális értéke a kritikus értéknél sokkal kisebb, nincs okunk a H0 hipotézis elvetésére.

Tiszta illeszkedésvizsgálat ^-próbával folytonos eloszlás esetében. Tételezzük fel, hogy a folytonos eloszlású í valószínűségi változóra vonatkozólag a

H0 : P(f<x) = F(x)

nullhipotézist kívánjuk vizsgálni, ahol F adott eloszlásfüggvény, amelyben a paramétereket is ismertnek tételezzük fel.

Legyen a £-re vonatkozó mintánk íi, í2, í„, ahol n nagy szám (pl.

n se 100-300). Osszuk fel í változási tartományát (pl. normális eloszlás feltételezése

197