Kontur István (szerk.): Hidrológiai számítások (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993)
3. Hidrológiai idősorok elemzése - 3.6 Autoregresszív (AR), mozgóátlag (MA) és autoregresszív-mozgóátlag (ARMA) modellek
176 3. Hidrológiai idósorok elemzése ahol Xi az átlagtól (trendtől) és periodikus komponenstől, azaz a determinisztikus komponenstől való eltérés, e* a véletlen tag, aminek minimalizációja alapján kapjuk meg az cti, a2, ■.., cti paramétereket. 3.6.1 Autoregresszív modellek: AR(fc) a) Elsőrendű autoregresszív modell: AR(1) Xi - a\Xi-1 + ti (3-100) ai = rí az egylépéses autokorrelációs tényező, <7g = (1 — rf)cr| a hiba szórásnégyzete r\, és o) számítása a szokásos módon történik, de az xt = A, — X idősor alapján, b) Másodrendű autoregresszív modell: AR(2) Xi = a1xi_l + a2Xi-2 + ti Az ai és a2 paraméterek számítása: _ n(l ~ r2) . 1 — rj ’ (3-101) (3-102) ahol rj és r2 az egy- és kétlépéses autokorrelációs tényező. Az ai és a2 számításának megkönnyítésére a 3-3. ábrán segédletet adunk meg. Figyeljük meg, hogy a paraméterek változásának tartománya: —2 < ai < 2 és — 1 < a2 < 1. Továbbá felhívjuk a figyelmet arra is, hogy van olyan összetartozó ri és r2 autokorrelációs értékpár, amelyre AR, MA, illetve ARMA modell nem illeszthető (3-\. ábra). Az ei véletlen komponens szórásnégyzetének képlete: = (1 - ain - a2r2)al c) Harmadrendű autoregresszív modell: AR(3) Xi = aiij-i -I- a2Xi-2 + a3Xi-3 + e< (3-103) ahol Xi = Xi — X, és ei a véletlen komponens. Az ai, a2 és d3 paramétereket az e,- eltérések négyzetösszegének minimuma alapján határozzuk meg. így a\, a2 és d3 felírható rí, r2 és r3 autokorrelációs tényezőkkel az alábbiak szerinti egyenletrendszerben a i + a2ri + d3r2 = r i flirj + a2 + a3r i = r2 a\r2 + a2r\ + a3 - r3 (3-104)
