Dégen Imre: Vízgazdálkodás I. A vízgazdálkodás közgazdasági alapjai (tankönyvkiadó, Budapest, 1972)

B) A gazdaság-matematika alkalmazása a vízgazdálkodásban - 1. Az optimális programozás közgazdasági alkalmazása a vízgazdálkodásban

A tevékenységek terjedelmét m számú erőforrás korlátozza, amit mérlegegyenletek fejeznek ki. Ezek m egyenletből álló lineáris egyenletrendszert alkotnak:

Ciliül ■ ■ ■ ~f" aUxi -J- . . . -)- d\nxn — bi

anXi "j— • • • ~|- djixi ~j— • • • ~j- O'jn^n ■ Ьу (1 4)

CL/iiíxL "I- • • • “F- ^mixi I • • • “f- dwnxn Ьщ,

ahol bj (j — 1, . .m) a felhasználható erőforrások mértéke, terjedelme

(pl. felhasználható beruházási eszközök, anyagmennyiségek stb.), az an (j = 1,. .., m és i = 1, ..., n) pedig a j-edik erőforrásból az i-edik tevékenység egységéhez szükséges erőforrás felhasznált mennyisége.

A feltételek és változók száma közötti arány tetszőleges. Számítástechnikailag előnyös, ham<n.

A tevékenységek eredményét egy vagy több célfüggvény méri:

z = CfX1 -j— . .. + C;-Xi+ . .. + c„-xn, (1—5)

ahol c; az i-edik tevékenység egységéhez tartozó, a cél megfogalmazásától függő fajlagos eredményt vagy ráfordítást jelöli (egységköltség vagy valamely anyag egységnyi mennyiségének előállításához szükséges fajlagos anyagfelhasználás, pl. 1 tonna acél előállításához szükséges vízmennyiség vagy egységnyi terület öntözéséhez szükséges vízmennyiség stb.),

Az eredmények és ráfordítások additívek és multiplikatívok.

A lineáris programozás feladata abban áll, hogy megkeresse az xi, Xo, . . ., x„ változók lineáris függvényének (a célfüggvényeknek) a szélső értékét, azon feltételek mellett, amelyeket ezen változókra egy m lineáris egyenletből vagy egyenlőtlenségből álló rendszer mond ki. Az egyenletek (egyenlőtlenségek) száma általában nem azonos az ismeretlenek számával (m < n), a rendszer tehát vagy bizonyos szabadságfokkal rendelkezik, amikor a célfüggvény alapján egy vagy több optimális megoldás létezik, vagy ellentmondó a rendszer, amikor nincs megoldás.

A lineáris programozási feladatok megoldása két alapvető módszer szerint végezhető. Az egyik a geometriai módszer, a másik a numerikus módszer, amely a lineáris algebrát használja fel. A továbbiakban egy azonos, egyszerű példa kapcsán mutatjuk be a két módszer elméleti és gyakorlati alkalmazását.

263