Csoma János - Szigyártó Zoltán: A matematikai statisztika alkalmazása a hidrológiában (VITUKI, Budapest, 1975)

2. A minták elemzése

15. példa

A Duna mohácsi vízmérce-szelvényében, az 1892—1926 és 1927—1961 közötti 35—35 évben észlelt értékek alapján, határozzuk meg az évi legnagyobb jégmentes vízállások e két időszakra vonatkozó empirikus középértékek 5%-os kockázatú eltérését.

A vizsgálathoz szükséges alapadatok a következők:

p = 5%. rí = m = 35.

Az 1892—1926, illetve az 1927—1961. évek közötti két időszak észlelései alapján meghatározott empirikus szórásnégyzetek (az előző példa szerint):

ö236(fi) = 4620 cm2, ö235(f2) = 7475 cm2.

A p értékét a (2.52) kifejezésbe behelyettesítve:

F(x/) =

Ehhez viszont a 111. táblázat szerint

97,5%.

x, = 1,960

érték tartozik, s így a (2.53) összefüggést felhasználva a keresett 5%-os kockázatú tartomány

C-,

±1,960 Jf 4620 +

7475

35

= ± 36,5 cm.

A két 35—35 elemű mintából képzett két empirikus középérték tehát — abban az esetben, ha azokat ugyanazon várható értékre vonatkozó becslésnek tekintjük — 5%-os kockázattal még +36,5 cm-rel térhet el egymástól.

* * *

Kis minták esetére, helyesebben a minta elemszámától független megbízhatósággal a normális eloszlású valószínűségi változók empirikus középértékeivel kapcsolatban dolgoztak ki eljárást, az úgynevezett „Student-pró- bá”-t.

Így ha egy normális eloszlású alapsokaságból származó minta empirikus középértéke birtokában annak a becslését kell elvégezni, hogy valamely (elvileg tetszőlegesen felvehető) érték milyen valószínűséggel tekinthető a valószínűségi változó várható értékének, a számítási munka a következő tételen alapszik:

Egy normális eloszlású alapsokaságból vett, n egymástól független elemet tartalmazó, egyöntetű minta £„ empirikus középértékének és M(í) = m várható értékének a különbségéből, továbbá a

O

*

n

í n

n — 1

(2.54)

úgynevezett ’’torzítatlan empirikus szórás”-ából képzett

azaz

Ín — l(|w — m)

(2.55)

(2.56)

5

65