Bogárdi János: Korrelációszámítás és alkalmazása a hidrológiában (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952)

I. A valószínűségszámítás néhány alapvető tétele

16

így X egyes

értékeire a

következő

valószínűségek adódn

X = 2-re

1

Pi = —,

X = 8-i a p, = —

36

36

2

1

,, 4

X = 3-ra

X = 9-re p8 = —

Pi 36 ^

Í8’

36

3

1

3

X = 4-re

1

X = 10-re pa — —

P3“36 "

12

36

4

1

2

X = 5-re

Pt = — =

„ )

X = 11 -re pio = —

36

9

36

X = 6-ra

5

P-, = —,

X = 12-re Pn = ~

36

36

6

1

<D

i

II

P

« = — =

' “ 1

Eszerint a két kockával dobható összeg várható értéke:

1 2 3 4 5 6 5

E(X)= -í- • 2 + • 3 + — • 4 + — • 5 + — • 6 + — • 7 + — • 8 +

36 36 36 36 36 36 36

4 3 2 1

+ — • 9 + — -10 + — • 11 + — -12 = 7,0.

36 36 36 36

Ugyanerre az eredményre jutottunk volna, ha a 36 egyformán lehetséges dobás összegét összeadva az összeget 36-tal elosztottuk volna, ugyanis

57 + 51 + 45 + 39 + 33 + 27 =

36 ~~

A várható érték tehát egy valószínűségi változó átlagos értékének mértékszáma. Véges számú észlelés esetén, mint a fenti példa mutatja, a várható érték egyenlő a számtani középpel. Ezt az egyenlőséget általánosságban is igazolhatjuk.

Ha a valószínűségi változó véges N számú értékből áll és ezeket egymásután sorszámozzuk (úgy, hogy egyenlő értékek ismétlődhetnek, de azoknak is mindig más sorszámuk legyen) és X„-el jelöljük az n-edik értéket, akkor mint ismeretes, az

1 n =N _

X

T ^ *" = X (?)

n = 1

értéket nevezzük a szóbanforgó N számú észlelés számtani közepének.

Annak a valószínűsége, hogy X, az X értéket felveszi pt= ahol ö,az X, érték gyakoriságát, N pedig az összes észlelések számát jelenti. Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy pt az X,- érték relatív gyakoriságával egyenlő.