Bogárdi János: Korrelációszámítás és alkalmazása a hidrológiában (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952)
I. A valószínűségszámítás néhány alapvető tétele
17 A fentiek szerint a várható érték E(X) k k n. 1 k 1 n=N 2 Pi xt = v £l X,- = - Vű, x, = - v x„ i = i í=i N Af (= i Af n = i (8) vagyis végeredményben E(X) = X, ha véges számú észlelésről van szó. Ha a valószínűség és relatív gyakoriság kapcsolatára gondolunk, vagyis a valószínűség gyakorisági definíciójának értelmezését vesszük figyelembe, a várható értéket határértéknek tekinthetjük, melyet a számtani közép a változó észleléseinek végtelen megnövekedése esetén ér el. Az előzőek alapján nyilvánvaló, hogy a legvalószínűbb érték a várható érték, ill. véges számú észlelésnél a számtani közép. A gyakorlatban a rendes eset az, hogy csak korlátozott számú észlelést ismerünk. Ezeknek csak a szám-, tani közepét számíthatjuk, amely közelítően adja az összes lehetséges észlelés várható értékét. Miben áll tehát a számtani közép valószínűség-elméleti jelentősége? Tegyük fel, hogy Xv X» ............ XN 30 év (JV = 30) évi középvízállásait jelöli é s keressük azt az évi V középvízállást, amely a várható, legvalószínűbb közép- vízállásérték lesz. Legvalószínűbb az a vízállás-érték lesz, amely a lehetőség szerint a legkevésbbé tér el Xt, X2,......... XN értéktől. A megoldást a legkisebb négyze tek módszere adja. Legyenek az eltérések kx = Xx — V, A2 = X2 — V,.........kn — XN — V, vag y általában X = X — V ; ebben az esetben N 1 N 2 (X2 — 2 X V + V2) =s= min. feltételnek kell teljesülnie, í vagyis N ~dV~ ^’(-2X + 2K) = 0, N amiből 2N V — 2 2 X = 0, és így a keresett legvalószínűbb érték V i N 2* •t N Ha tehát egy évsorozat vízállásainak számtani közepét ismerjük, akkor ha egy egyes év középvízállását keressük, ennek legvalószínűbb értéke az évsorozat számtani közepével lesz egyenlő. Az évsorozat számtani közepénél lesz ugyanis a legkisebb az értékek szórása. A legkisebb négyzetek közismert módszeréhez néhány megjegyzést kell fűznünk. Tegyük fel, hogy Y és X változók N összetartozó értékpárját észleltük és ezek alapján meg kell határoznunk Y és X kapcsolatát. A két változó közötti kapcsolat tetszésszerinti alakú lehet. Tételezzük fel, hogy a kapcsolatot Y = ax . X + bx alakú összefüggés fejezi ki. Ha a két változó között matematikai szabatossággal fennálló függvénykapcsolat van, akkor az ax és bx állandókat, vagyis magát a keresett összefüggést 2 Bogpárdi : Korrelációszámítás Lm :íSiíF lÁ.t
