Új Szó, 1975. április (28. évfolyam, 76-101. szám)
1975-04-11 / 85. szám, péntek
A matematika korszerű oktatásáért KULCSÁR FERENC: Már az alsó osztályokban Jelenleg nemcsak nálunk, hanem világszerte sokat foglalkoznak a matematikaoktatás kérdéseivel. Ezért nyúltam oly szeretettel A A. Sztoljár A matematikatanítás módszerei című könyvéhez, amelynek alapján írtam e cikket. Hagyományos módszerek A matematika hagyományos módezerei nem olyanok, amelyeket más módszerekkel kell felcserélni. Tökéletesítésükről van sző, és amikor új, korszerű módszerekről beszélünk, akkor olyanokra gondolunk, amelyek magukba foglalják a hagyományos módszerek pozitív vonásait, és kiküszöbölik a hiányosságokat. A hagyományos módszerek egyik lényeges hibája az, hogy figyelmen kívül hagyják a matematika logikai nyelvét. Ezzel magyarázható, hogy hiányosan befolyásolják a tanulók logikus gondolkodásának fejlődését. Az a kérdés, hogy a matematika oktatása során szükséges e speciálisan tanítani a logikai mérlegelést, már régen sok vitára adott okot. Senki sem vonja kétségbe, hogy a mérlegelési készséget az ember élet- tapasztalatai révén megszerezheti, nem pedig annak eredményeként, hogy elsajátítja a logikai törvényeket, amelyekre a megítélések, mérlegelések épülnek. Az emberek helyesen mérlegelnek anélkül, hogy e (örvényeket ismernék. Azonban nem lehet kétségbe vonni azt sem, hogy ez a készség a különböző embereknél nem azonosan fejlődik ki. Itt mutatkozik véleményeltérés: egyesek azt állítják, hogy az oktatásban nincs szükség mérlegelésre, mások pedig ezzel ellentétes szempontot képviselnek. Például R. Davis, az iskolai matematikatanítás egyik amerikai tervének szerzője hangoztatja, hogy „a gyereket először mérlegelésre, értelmezésre kell megtanítani, majd azután és csakis azután kell vele megtanítani a matematikát. Ez az álláspont éppúgy helytelen, mint az, amely kétségbe vonja, hogy a matematika tanítási folyamatában szükség van a mérlegelés szerkezetének tanulmányozására. Az ismert francia matematikus és pedagógus, G. CHOQUET, ezt mondja: „Megállapították, hogy az idősebb (19 éves) tanulók rosszul mérlegelnek, nem tudják összeállítani egy állítás tagadását, nem tudnak kifogástalanul megfogalmazni egy meghatározást vagy tételt; ténylegesen sokkal korábban kell őket erre megtanítani“. Például, nagyon sok tanuló, a „ha 9 osztható 3-al, akkor öl osztható 3-mal“ kijelentést igaznak tekinti, míg a „ha 10 osztható 3-mal, akkor 100 osztható 3- mal“ kijelentést hamisnak véli, mivel komponensei hamisak. A megfontolásokban a tanulók többsége elköveti ezeket a hibákat, ami azt igazolja, hogy e hibák nem véletlenül fordulnak elő. E hibák nem az egyes pedagógusok tanításában mutatkozó fogyatékosságokról tanúskodnak, hanem a hagyományos módszerek lényeges hibáira mutatnak rá. Tehát maga a hagyományos módszerekkel való tanítás mutat rá arra, hogy ezek a módszerek elégtelenek a tanulók megfelelő logikai fejlődésének elérésére. Zzek után levonhatjuk a következtetést, hogy szükség van a logika elemeinek tanulmányozására. Hiszen amikor a logika elemeit tanulmányozzuk, lényegében a matematikai módszer alkalmazási területének egyikét tanulmányozzuk. A matematika nyelve A szakemberek a matematikát gyakran egy építményhez hasonlítják. Az általa tanulmányozott tárgyak halmaza az azokra jellemző műveletekkel az építmény téglái, a logika pedig» az összekötő anyag, a cement. Ezzel a párhuzammal aláhúzható a logika szerepe a matematikai elméletek felépítésében. A matematikai elméletek nyelve logikai-matematikai nyeiv. A matematikai nyelvet — megkülönböztetve a természetes nyelvtől — szimbolikusan szokás nyelvnek nevezni, bár a természetes nyelv is használja a szimbólumok — betűk és írásjelek — meghatározott halmazát. Azonban a matematikában és a természetes nyelvben használt szimbólumok között lényeges különbség van. A matematikai nyelvben egy jel azt jelöli meg, amit a természetes nyelvben szóval fejeznek ki. Például a 3 + 4 = 7 mondatot így írják: három plusz négy egyenlő héttel. A matematika olyan pontos és világos nyelvet igényel, amelyben minden egyes szimbólumnak, minden szimbólumból alkotott képződménynek csak egyetlen értelme van. A természetes nyelv tanítási óráin a tanulóknak gyakran adnak olyan szöveget, amelyben a hiányzó szavakat vagy betűket kell pótolniuk úgy, hogy az üres helyeket kitöltve, értelmes szavakhoz vagy mondatokhoz jussanak. Az ilyen feladatok gyakorlása nagyon hasznos, különösen a változó Jogalma kialakításának kezdetén. Példaképpen bemutatok egy ilyen feladatot: „Alkossunk mondatokat! A pontok helyébe értelem szerint helyezzünk szavakat!“ Fényesen síit a . . . (nap) Megjöttek a ... (madarak). Ennek a gyakorlatnak ugyanez a szerkezete, mint a következőnek: „Alkossunk helyes egyenlőséget! A pontok helyébe tegyünk számokat a //10, 9, 8, 5, 3, 2, 1// halmazból.“ 13+ ... =15 36— ... =27 8 X ... =40 A két gyakorlat csak abban különbözik egymástól, hogy az elsőben értelmes mondatokat, a másodikban pedig helyes egyenlőségeket kell kapnunk. Az alsó osztályokban használatos aritmetikai tankönyvekben az üres helyek kitöltésére vonatkozó kérdések például így hangzanak: tegyetek számot a pontok helyébe, mondjuk a 3+ ... =7 egyenlőségben. Erre a kérdésre általánosságban nem lehet válaszolni. A pontok helyébe tetszés szerinti számot írhatunk. Magától értetődik, hogy nem minden helyettesítéskor jutunk helyes egyenlőséghez, ez azonban más kérdés. Az ilyen kérdések nem alkalmasak a változó fogalmának kialakítására, annál is inkább, mivel az „X“ betű a pontok helyén mint „ismeretlen szám“ jelenik meg a matematikai nyelvben. Innen ered a helytelen állítás, hogy a 3 + x = 7 egyenletben az „x ismeretlen“ csak a 4 értékei veheti fel; pedig az x-et változónak kell tekinteni, amely valamely halmazból tetszőleges értéket felvehet; azonban csak az x helyébe tett 4-es érték mellett vá lik az Egyenlet helyes egyenlőséggé. A tárgyakat, amelyeknek nevét a változó helyébe tehetjük, a változó értékének mondjuk, míg e tárgyak halmazát a változó értékkészletének nevezzük. Minden változónak megvan a maga értékkészlete. Ezt a változók használatának megkezdésével egyidejűleg ki kell emelnünk. Értelmetlenség változót használni értékkészletének ismerete nélkül. Ezért fontos, hogy a tanulók gondoljanak a változónak és értékkészletének szoros kapcsolatára. Tehát a változó a matematikai nyelv eleme, míg értékkészlete valamilyen tárgyi tartomány, melynek sajátosságai a nyelvben kifejezésre jutnak; így a változó és értékkészletének kapcsolata nem más, mint a nyelvnek és annak kapcsolata, amit kifejez. Ezt a kapcsolatot figyelmen kívül hagyni annyit jelent, mint elszakítani a nyelvet a nyelv eszközeivel leírt valóságtól, elszakítani a formát a tartalomtól ez pedig szintén a tanulók formális ismereteihez vezet. Most tisztázzuk azt, hogy ml a változók nélküli kifejezés. Értelem szerint könnyű megállapítani, hogy például a 2 + 3 kifejezés, míg a 2++ nem az. Valóban, a + jel két számmal végzett műveletet jelöl, ezért a matematikai nyelv kifejezéseiben ez a jel csak két olyan szimbólum között állhat, amelyek számok nevét vagy a számváltozókat képviselik. Mi az értelme a 2 + 3 kifejezésnek? Ez a kifejezés egy számnak, a 2 és 3 számok ösz- szeadásának eredményeként kapott számnak a neve. Azonban e számnak másik neve is van, éspedig: 5. Azt a tényt, hogy a 2 + 3 és 5 kifejezések egy és ugyannak a számnak a nevét képviselik, az = jellel jelöljük: 2 + 3 = 5. A kapott szimbólumsorozat ugyancsak matematikai kifejezést szolgáltat, azonban ennek értelme természetesen más, mint a 2 + 3 és 5 kifejezések értelme. Ez utóbbiak számokat jelentenek; ha azokat az = jellel összekötjük, akkor a kapott kifejezés már kijelentés (és riem szám) lesz: „2 + 3 egyenlő 5-tel“ vagy pedig „a 2 + 3 és az 5 kifejezések egy és ugyanazon számnak a nevei“ A kijelentés logikai jogalom és nem matematikai fogalom. Amint látható a matematikai nyelv kifejezései nemcsak matematikai, hanem logikai objektumokat is jelölnek, és a matematikai objektumokat a logikától elválasztani, csak az előbbieket tanulmányozni az utóbbiak elhagyásával, teljesen megengedhetetlen. Ily módon nem tudnánk felfogni a matematikai nyelv kifejezéseinek értelmét, azaz nem tudnánk tanulmányozni ezt a nyelvet s következésképpen magát a matematikát sem. Nyilvánvaló, hogy a kijelentés szakkifejezést már az alsó osztályokban bevezethetjük az oktatás folyamán, magától értetődően speciális meghatározás nélkül, mint világos fogalmat. Ezt nagyon egyszerűen magyarázhatjuk meg a tanulóknak, amikor már tudják, hogy mi a mondat: a kijelentés — mondat, amelyben valamiről vagy valakiről kijelentünk valamit, és amiről érdemes azt mondani, hogy igaz vagy hamis. így például, a matematika nyelvében a 2 + 3 = 5, 7—3 = 4, kifejezések éppúgy, mint a „Prága — Csehszlovákia fővárosa" kifejezések igaz kijelentések, míg a 2 +3 = 6, * 5—2 = 1, kifejezések éppúgy, mint az „idősebb testvér később szUletett, mint a fiatalabb“, „egy évben tíz hónap van“ kifejezések hamis kijelentések. Magától értetődő, hogy tisztán az a szempont, amikor a nyelvet függetlenül vizsgáljuk attól, amit jelöl nem lehet az iskolai tanítás alapja. Azonban a tanulóknak a formális nyelv axiomatikus felépítésével való megismertetése nem nagyon összetett példákon, a felső osztályokban feltétlenül hasznosnak bizonyul, míg az egyszerűbb számításos példáknak játék alapján való vizsgálata már az alsó osztályokban megtörténhet. x A formális nyelv axiomatikus felépítése magától értetődően nem egyszerű kérdés. Itt fontos úgy előkészíteni a tanulókat, hogy különös nehézségek ne merüljenek fel annak helyes megértésében. A felépítés folyamatának elemzése azt mutatja, hogy nagyon fontos benne pontosan fogalmazni és szigorúan alkalmazkodni a meghatározott szabályokhoz. BALÁZS IMRE lévai alapiskola • « • Ezzel az írással lezárjuk a matematikaoktatásról indított cikksorozatunkat. A jelvetett problémákról ke- rekasztal-beszélgetést rendezünk, melynek anyagát a Vasárnapi Oj Szó egyik májusi számában közöljük. A SZERKESZTŐSÉG ÉN SZERETLEK ÉS NEM HISZEM AZ ISTENT JÖZSEF ATTILA EMLÉKÉRE 1. Mi áttörte már arcod arany csontvázát s homlok márványterét, öltöztetné jaj, gyermekké tenné képzelet, ruhánk, erdeink álmát volt és most jövő időt rakna rája, Borítsa látomás, szememnek látomása. Izzó vörössel szórt, te elfedett, földevö, te termo szemérmetes, arany tengelyen agyunkat ki pörgeted, emeled halálban, istenben, vérben teveled. Tengersok, jaj, csitulj, elcsitulj, megbirkózók veled, legyűrlek, jaj, úristen itt: micsoda bérc, hittani hit kell itt. Késsel járom az eszméld szürke kökorszakot, mint csödor, amely ínyébe horapott: nekifutva vérzem át a tájat, csontra-szépült Fiú, magas Proletár Lak. Gyémánt-öbölre, farkas, »(bolyongok, és vonítva, szürke hideggel beborítva felsírom legbelül lelkem Rendjét, mit emeltem általad, végső tövis Szentélyt. És megyek talán, síneken át barna medve-tánccal, homlokodról levett nehéz lánccal forgok, őrülten, dúsan, mint a nyár: csörren, segít, sír és kiabál. Elfutó szarvas gém, arany világ-ág bog, nyomod keresve, őz, őszi erdőt járok, s eltíinök tán hirtelen, mint tiszta, könnyes állat, csonttá szépült fiú nagy proletár-bánat. Mindig az a homlok, a kormos szénnel mázolt, én is oda omlok, földre, ahol mindig vérrög homlokot látsz, úristen, te kormos, kormos bányász, arra tekints, ki fojtogat, álmot, rendet, csillagokot. Nyelvet ölts és maradj magadhoz irgalmas táltos, nézzed, csilla szálldos, fehér tánc a földből . . . Elegem van, teremtőm, a földbőí ... Irgalmas légy, irgalmas és átkozz: virág hangján gyilkos jön a házhoz ... 2. Már hetek óta, Attila,- ezt el kell hogy mondjam - rosszul látok ... Mint a boldog gyümölcs, nyílni vágyók, és vérben a szemem, én ellenkezem és lejárok zokogni hűs Dunához, meggyógyulok, a víz a vért lemossa, s nem írok többet, szemem ne rontsam, Attila, ezt el kellett hogy mondjam. 3. (Én szeretlek és nem hiszem az istent, csak úgy vagyok, mint más, mint te is, árva, ón szeretlek és nem hiszem az istent, igaz dudás mind a poklot járja. Én úgy tudok hinni, mint a gyermek, mint boldog, akit szépsége igáz, én úgy tudok hinni, mint a gyermek, és nem hiszem, hogy istent marja láz.) Hetven évvel ezelőtt születeti József Attila, a tragikus sorsú, szenvedélyes hangú nagy magyar költő, aki szocialista szellemű, a proletáréletben gyökerező költészetével adott új, múlhatatlan értékeket a világirodalomnak, az emberiségnek. A kollektív En“ költője verseiben a végtelent fogta át új, a költészetben addig nem ismert eszközökkel. Következetes forradalmiság, rendíthetetlen, férfias keménység, lebegő gyöngédség jellemzi verseit. A tisztaságért, az emberiségért perelő költő fiatalon, harminckét éves korában tragikus körülmények között hunyt el.
