Szocialista Nevelés, 1971. szeptember-1972. június (17. évfolyam, 1-10. szám)
1972-05-01 / 9. szám - László Béla - László Béláné: Matematikai logika és számtanelmélet a szakkörökben (folyt)
Az г egyenlő 5, 6, ..., 16 esetekben F(r) összetett szám, habár Fermat úgy sejtette, hogy az ilyen számok mind prímszámok. Az előzőeken kívül eddig mégsem sikerült más Fer- mat-féle prímet találni, sem pedig bizonyítani azt, hogy számuk véges-e vagy végtelen. A VII. tétel alapján, ha M(n) = 2n — 1 prímszám, akkor n is prímszám. Az M(n) prímeket Mersenne-féle prím- számoknak nvezzük. A tétel nem fordítható meg, mivel már 211 — 1 = 23 . 89 összetett szám. Érdekességként megemlítjük, hogy számítógépek segítségével megállapítást nyert, többek között az is, hogy az n egyenlő 11213 esetben M(n) prímszám. Ez már az eddig ismert 23. Mersenne-féle prím. A számelméletnek azonban máig is megoldatlan problémája, hogy végtelen sok Mersenne-féle prím van-e, vagy csak véges számú. Ilyen érdekes számok közé sorolhatók többek között a tökéletes számok is. így nevezzük azokat a természetes számokat, amelyek összes osztóinak összege egyenlő a szám kétszeresével, azaz S (a) egyenlő 2a-val. Tökéletes szám pl. a 6, 28, amiről könnyen meggyőződhetünk. Már Euklidesz megállapította, hogy ha M(n) prím- szám, akkor 2n-x. M(n) = 2й-1. (2n—1) (18) tökéletes szám. Eulernek viszont sikerült bebizonyítani, hogy csak az ilyen páros számok tökéletesek. Ezeket összefoglalva bebizonyítjuk a következő tételt. Vili. tétel: Az a páros szám akkor és csak akkor tökéletes, ha (18) alakú és M(n) prímszám. Bizonyítás: Jelöljük P, Q, R és S-el rendre a következő ítéleteket: „a páros szám“, „a tökéletes szám“, „az a (18) alakú szám“ és ,,M(n) prímszám“. Ennélfogva tételünk a következő alakot veszi fel: P -* [Q ♦* (R Л S) ] A III. tétel alapján a bizonyítást két részben végezzük el. Először bebizonyítjuk, hogy (P és Q)-ból következik az (R és S), majd azt, hogy (P és R és S)-ből következik a Q. a) Ha tehát a páros szám és tökéletes is, akkor az (1) alapján a egyértelműen felírható a = 2n_1. m alakban, ahol n nagyobb vagy egyenlő mint 2, és m páratlan természetes szám. Innen a (2) alapján adódik, hogy 2n . m = 2a = S(a) = S(2n—1. m) (19) = S(2n—1) . S(m) = (2n—1) . S(m) ahol S(m) természetes szám, s így M(n) osztója a 2n. m számnak. Mivel azonban M(n) és 2n relatív prímek, ezért bevezető megjegyzéseink egyik tétele alapján M(n) osztója az m-nek, azaz m:M(n) természetes szám, amely nyilván megint csak osztója m-nek. A (19)-bői adódó , 2n . m—m + m összefüggés pedig azt jelenti, hogy m-nek az m és m:M(n) számokon kívül más osztója nem lehet. Mi azonban jól tudjuk, hogy csak a prímszámoknak van két osztója, éspedig 1 és maga a szám. Ebből adódik, hogy m:M(n) egyenlő 1-el, vagyis m egyenlő M(n)-nel. Tehát M(n) prímszám és a (18) alakú szám, amit bizonyítani kellett. b) Ha pedig a páros szám, (18) alakú és M(n) prímszám, akkor nyilván n nagyobb vagy egyenlő 2 és a (2) alapján írhatjuk: S(a) = S[2n—!(2П—1) ] = S(2n 1J . S(2n—1) 2n—1 = ------. (2n—1 + 1) 2—1 = (2n—1) .2n = 2a amely már az a szám tökéletes voltát bizonyítja. Ezzel tételünket teljesen bebizonyítottuk. Itt jegyezzük meg, hogy "mivel nem tudjuk a Mersenne-féle prímek számáról, hogy véges-e vagy végetlen, 278
