Szocialista Nevelés, 1971. szeptember-1972. június (17. évfolyam, 1-10. szám)
1972-05-01 / 9. szám - László Béla - László Béláné: Matematikai logika és számtanelmélet a szakkörökben (folyt)
ezért természetesen azt sem tudjuk, hogy van-e végtelen sok páros tökéletes szám vagy sem. Kézenfekvő ezek után felvetni azt a kérdést, hogy van-e páratlan tökéletes szám. Eddig ilyen számot nem találtak, és nem is látszik valószínűnek, hogy létezik. Ezt azonban ez ideig bizonyítani nem sikerült. Üjabb keletű számérdekességet nyújtanak a praktikus számok; (angolul: practical numbers). Így nevezte el A. K. Srinivasan azt a természetes számot, amelytől valamennyi nem nagyobb természetes szám előállítható a különböző osztóinak összegeként, ide értve triviálisan az egytagú ösz- szeget is. Ilyen szám pl. a 6, 8, stb. A praktikus számokról lényegesen többet tudunk mint az előző érdekes számokról; sőt ismerjük e számok létezésének szükséges és elégséges feltételét is, melyet J. Browkin mondott ki elsőnek és B. M. Stewart bizonyított be 1954-ben. Ez a következő, melyet bizonyítás nélkül közlünk: IX. tétel: Az a = 2no. pim . P2n2-----P"il1 kanonikus alakú egynél nagyobb a természetes szám akkor és csak akkor praktikus szám, ha ahol a kitevők természetes (k egyenlő 1 esetében a egyenlő 2 hatványával), és (k nagyobb mint 1 esetben) Pl < •** <pk-l páratlan prímszámok (Lásd 1. 232— 335 old.). E tétel eléggé bonyolultnak látszik és bizonyítása is hoszadalmas és nehézkes. A praktikus számok keresése érdekébbn talán célszerűbb abból kiindulni, hogy minden n nagyobb 1-nél természetes szám esetén 2n—i(2n—1) praktikus szám. Ez közvetlen következménye az 5. harmadik tételének. Nyilvánvaló tehát az előzőek alapján. hogy többek között minden páros tökéletes szám egyben praktikus szám is. A praktikus számokkal kapcsolatban bizonyítási érdekességként mondjuk ki a következő tételt: X. tétel: Ha m nagyobb mint 2n és H (m—n) = 2m_n +1 prímszám, akkor P(n,m) = 2n (2m—n -hl) nem praktikus szám, ahol m,n természetes számok. Bizonyítás: Jelentse A, B, C és D rendre a következő ítéleteket: „m nagyobb mint 2n“, „H (m—n) prímszám“, „P (n, m) praktikus szám“ és „H(m—n) ^1 + S(2n)“ . Ekkor tételünk az M = (А Л B) —* IC alakot veszi fel, amelyről könnyű eldönteni, hogy azonos КАЛ В А C) formulával. 'На а IV. tétel alapján megmutatjuk, hogy nem M-ből következik a D és azt is, hogy nem M-ből következik a nem D, akkor egyben az M, vagyis a tételünk is bizonyítást nyert. a) Legyen tehát A, B, és C igaz. Ekkor P(n, m) praktikus volta miatt а IX. tétel alapján kapjuk, hogy Hím - n) á 1 + S(2") hiszen В igazsága folytán az A alapján H(m—n) páratlan prímszám. Ezzel bebizonyosodott, hogy nem M-ből következik a D. b) Ha pedig A igaz, akkor H(m-n)= 2m'n+lž22n*1"n+i= 2n+1+l > г0*1 =I+f2n+1 -l)=l+S(2n) vagyis nem D is igaz. De az V. tétel alapján, ha A-ból következik a nem D, akkor (A és В és C)-ből azaz nem M-ből is következik a nem D, amit bizonyítani kellett. Ezzel tételünket teljesen bebizonyítottuk. A praktikus számokról az érdeklődők bővebben olvashatnak az 1. és 5.- ben. 279
