Szocialista Nevelés, 1957 (2. évfolyam, 1-10. szám)
1957-07-01 / 7. szám - Schramm László: Matematikai tételek bizonyítása
Schramm László, Bratislava: Matematikai tételek bizonyítása 211 Ezért az egyes tételek igaz vagy hamis voltát mindig be kell bizonyítanunk. Tanításánál direkt (közvetlen), indirekt (közvetett) vagy teljes matematikai indukción alapuló bizonyítási módszert alkalmazunk. Direkt bizonyítás Legyenek A, B, C, D olyan állítások, amelyek között az A= >B, B= >C, C= >D tételek állnak fenn, azaz ha igaz A, igaz В is, ha igaz B, igaz C is és ha igaz C, igaz D is. Akkor (az implikációk tranzitív törvénye szerint) igaz az A= >D alakú tétel is. Ezt a sémát felhasználjuk a tételek direkt bizonyításánál. Az adott A feltevésből indulunk ki, azután ismert törvények, definíciók és tételek segítségével a D következtetéshez jutunk. Az egyes bizonyítási eljárásokra példát hozunk fel. Feltevés: a tetszés szerinti szám, r és s természetes számok. Alkalmazzuk az 4 ar = a.a...a, as = a.a...a r tényező s tényező definíciót, a szorzásra vonatkozó kommutáció törvényét és ismét az a.a ... a = ar+s (r + s) tényező definíciót! A bizonyítás menete: A => В => C => D ar. as = a.a ... a . a.a ... a = a.a ... a = ar+s r tényező s tényező (r + s) tényező Indirekt bizonyítási módszer A direkt bizonyítási eljárásnál az A feltevésből indulunk ki (azaz feltételezzük, hogy az A állítás igaz) és a D következményhez jutottunk (azaz arra a megállapításra, hogy igaz a D állítás is). Bebizonyítottuk tehát, hogy az A= >D tétel igaz. Ez a tétel tartalmilag azonos a non D= >non A alakú ellentétes tétellel, amely (ugyanúgy, mint az eredeti A=>D tétel) vagy igaz, vagy hamis. A non D=>non A tétel helyességét bebizonyítani ugyanazt jelenti, mint bebizonyítani az A=>D tétel igaz voltát, ami tulajdonképpen a feladatunk. Az indirekt bizonyítási eljárás a következő megfontoláson alapszik. Fel fogjuk tételezni, hogy a D állítás nem igaz, azaz hogy igaz a non D állítás. Ugyancsak ismert törvények, definíciók és tételek alkalmazásával arra a következtetésre jutunk, hogy az A állítás vagy igaz, vagy hamis. Ha arra a következtetésre jutunk, hogy az A állítás igaz, akkor a »*
