Szocialista Nevelés, 1957 (2. évfolyam, 1-10. szám)
1957-07-01 / 7. szám - Schramm László: Matematikai tételek bizonyítása
212 Schramm László, Bratislava: Matematikai tételek bizonyítása non D= >A tétel is igaz és ezért nem érvényes a non D=>non A tétel, azaz hamis az A= >D tétel is. De ha arra a következtetésre jutunk, hogy az A állítás nem igaz, azaz a bizonyítás ellentmondáshoz vezet, akkor a non D= >non A tétel lesz igaz, ami azt jelenti, hogy igaz az A= >D tétel is. Kövessük a bizonyítás eljárását a 6. tétel bebizonyításánál! Feltevés: m olyan természetes szám, amely egyetlen természetes számnak sem az n-dik hatványa, azaz m^pn, ahol p valamilyen természetes n szám. — Következmény: Vm irracionális szám. n A következmény ellentétjéből indulunk ki: Vm nem irracionális szám, azaz racionális szám, amelynek törzsalakja - - , ahol r és s természetes szári mók. Feltételezzük tehát az Vm= ~r~ egyenlőségét: Két lehetőség forduln hat elő: s = l, vagy s^l. Ha s = 1, akkor V rn = r. Ezt az egyenlőséget az я-dik hatványra emelve (m = rn) és feltéve, hogy r = p az m = pn alakú egyenlőséget kapjuk, ami nyilvánvalóan ellentmond a feltevésnek. Vizsgáljuk meg még a másik lehetőséget is. Ha s^l, akkor r és s nem egyeszrűsítn hetők (különben nem lehetne a tört törzsalakja). Az Vm= egyenlőséget hatványra emelve az m = (~-)n -^1 = -“-= egyenlőséget kapjuk, ahol и és v szintén nem egyszerűsíthetek, v^l. Ez azonban azt jelenti, hogy m nem természetes szám, ami szintén ellentmond a feltevésnek, n Összefoglalás: Ha Vm racionális szám, eilentmondunk a feltevésnek n (megcáfoljuk a feltevést). Ezért igaz, hogy V rn irracionális szám. Ezzel bebizonyítottuk a 6. tétel érvényességét. Az indirekt bizonyítási eljárást gyakran alkalmazzuk az elementáris geometriában. ^ Teljes indukció útján való bizonyítási eljárás Ennek a bizonyítási eljárásnak magyarázatát megtaláljuk az általános műveltséget nyújtó iskolák 9—11. oszályú matematikai tankönyvében (algebra). A= >B tétel igaz, ha a) bebizonyítjuk, hogy a tétel érvényes n = l esetében és
