Szocialista Nevelés, 1957 (2. évfolyam, 1-10. szám)
1957-07-01 / 7. szám - Schramm László: Matematikai tételek bizonyítása
210 Schramm László, Bratislava: Matematikai tételek bizonyítása Az 1. tétel fordítottja nem érvényes. Igaz ugyan, hogy ar.as = ar+s, de ebből még nem következik, hogy r és s természetes számok. A 2. tételnek a fordítottja is igaz. Ha ugyanis egy függvény grafikus ábrája olyan egyenes, amely nem azonos a koordinátarendszer egyik tengelyével sem és áthalad annak origóján (0, 0) (kezdőpontján) és az (1, k) ponton, akkor a függvény alakja y = kx, ahol k=^0. A 3. tételhez tartozó fordított tétel ismét hamis. Ha ugyanis ab>0, abból még nem következik, hogy a>0, és egyúttal b>0 (mert lehet a<0, b<0). Stb. Mivel az (I) tétel érvényességéből nem következik a (IV) tétel érvényessége, azért a fordított tétel igaz voltát minden egyes esetben külön be kell bizonyítanunk. Ekvivalencia Két kijelentés A és В ekvivalens (egyenértékű), ha A= >B és B= >A tételek egyidejűleg érvényesek. Ezt így szokás jelölni: A< = >B (V) • Mát tudjuk, hogy a 2. tétel fordítottja is igaz. Ezért „a függvény alakja y = kx, k^O” és „a függvény ábrája olyan egyenes, amely áthalad a kezdőponton és nem azonos az egyik tengellyel sem” kijelentések ekvivalensek. A 2. tétel tehát ekvivalencia. Bebizonyítható, hogy igaz az 5. tétel fordítottja is. Ez azt jelenti, hogy az „ax2 + bx + c = 0, a^O egyenletnek van megoldása” és az* „ax2 + bx + c = 0, a^O egyenletnek diszkriminánsa nem negatív szám” állítások ekvivalensek. Tehát az 5. tétel is ekvivalencia. Vegyük fontolóra ismét az A< = >B ekvivalenciát. Az A és В kijelentések között érvényesek az A=>B B= >A alakú tételek. Ezen utolsó tételhez kimondhatjuk a non A = > non В alakú ellentétes tételt. Ebből következik, hogy két állítás ekvivalens akkor, ha köztük egyidejűleg érvényesek az A=>B, non A=>non В alakban fogalmazott tételek. Már bebizonyítottuk, hogy az 5. tétel ekvivalenciát jelent. Ezért az 5. tételt így is mondhatjuk: az „ax2 + bx + c = 0, a^O egyenletnek nincs megoldása akkor és csakis akkor, ha a diszkriminánsa negatív szám”. A tételek bebizonyítása Két tetszés szerinti А, В kijelentésből formálisan mindig összeállítható (található) olyan tétel, amely lehet igaz, de nem kell feltétlenül igaznak lennie. A matematikatanítást csakis igaz és érvényes tételekre építjük.
