K. k. katholischen ober-gymnasiums, Schemnitz, 1856

f ig 10, Nach dieser Erklärung wird

die Potenz: E. (-f- 2 -f- »)* leicht räumlich darstellbar sein ; denn: E.

(+ 2 + «)* — E. (4- 2 -f- 0 (-f- 2 4- *) — X. Man nehme AB = E, so ist AC = E. (4- 2); man errichte in C eine Senkrechte, trage auf diese das E. (+ i) auf, verbinde hierauf A mit D, so ist AD — E. (4- 2 —j— *) = d. h. gleich der neuen Einheit, auf welche dasselbe Ableitungsgesetz angewendet werden muss, welches auf die ursprünglich gegebene Einheit E angewendet wurde. Die Aufgabe wird nun folgende Form haben : (5. (4- 2 4- 0 = A Man nehme AF— Q. (4- 2) = 2 AD, errichte in F eine Senkrechte, nehme an ihr FG = (5. (4- 01 verbinde dann A mit G, so wird AG — X — ©. (4- 2 4- 0 == E. (4- 2 4- 0 (4- 2 -f- 0 — E. C4- 2 4- 02 das gesuchte Quadrat räumlich darstellen. Zu demselben Resultate gelangt man, wenn man die zweite Potenz von (4- 2 4- »') auf rein algebraischen Weg bestimmt, und das Resultat 4-34-4« dann construirt.

Nicht selten ist eine Grösse dadurch bestimmt, dass man von ihr weiss, sie erzeuge in Verbindung mit einer gegebenen Grösse eine gegebene Summe. Die Bestimmung dieser Grösse aus den zwei bekannten Grössen beruht in einer Zerlegung der gegebenen Summe. Diese Zerlegung besteht bei geraden Linien in einer Construction von Parallelogrammen , welche die Summe vorstellende Gerade zur Diagonale, und die Andere gegebene Gerade zu einer Seite haben. Es sei a die gegebene Summe, b die gegebene, und x die gesuchte Grösse; die oben ausgesprochene Forderung wird in der mathematischen Zeichensprache folgendermassen ausgedrückt ; b 4- * = a, wo es klar ist, dass a in zwei Theile zerlegt werden müsse, von welchen der eine mit b gleich sein muss, der andere Theil des a ist dann die gesuchte Grösse, das x. Diese Forderung kann auch folgenderweise angedeutet werden: o — 6 = x. Jene Grösse, welche aus a und b abgeleitet wird, nennt man die Differenz aus a und b in concreter Bedeutung; von den Bestandteilen der Differenz heisst a der Minuend, b der Subtrahend; das Ableiten dieser Grösse x aus dem Minuend und Subtrahend nennt man das Subtrahiren, das Gesetz der Ableitung aber die Subtraction.

Die Forderung, dass aus irgend einer Grösse E durch die Ableitungsgesetze « und dann ß die Grössen a und b hergeleitet, und diese dann nach dem ausgesprochenen Gesetze der Subtraction zu einer Differenz verbunden werden sollen, deutet folgendes Symbol an : E. (u — ß) ; a — Iß nennt man eine Differenz, a den Minuend, ß den Subtrahend, und zwar alles dieses in abstracter Bedeutung.

Beispielweise sei die Differenz E. [(4- 2 4-2») — (— 2 4- 2 »')] = x räumlich darzustellen. Es sei: E. (4- 2 4- 2 *) — a, dann: E. (—2 4- 2 i) — b folglich x — a — b, oder: x 4- b = a; man nehme (Fig. 11.) AB = E. (4- 2), und BC = E. (-)- 2 *), so ist AC = E. (4- 2 -+- 2 i) = a : man mache ferner AF = E. (— 2) und FG — E. (4- 2 »), so ist AG = E. (— 2 4- 2 i) — b; man ziehe nun zu GA die parallele Gerade CK und vollende das Parallelogramm, so ist AC = a die Diagonale und AG = b die eine Seite des Parallelogrammes JGC/f, die andere Seite AK ist also die Differenz zwischen AC und /1G, d. h. AK — x — a — b, oder: AK — x — E. [(4- 2 4- 2 *) — (— 2 4- 2 »)L

Oft wird eine unbekannte Grösse z. B. x dadurch bestimmt, dass man von ihr weiss, die Anwendung irgend eines bekannten Ableitungsgesetzes ß auf sie erzeuge irgend eine Grösse, die gleich ist mit derjenigen, welche man durch die Anwendung irgend eines anderen bekannten Ableitungsgesetzes a auf eine gegebene Grösse E hervorbringen kann. In der mathematischen Zeichensprache wird dieser ganze Gedanke durch folgendes Symbol angedeutet: E. u = x. ß. Da hier die Grösse E, sowie die Ableitungsgesetze a und ß

2