K. k. katholischen ober-gymnasiums, Schemnitz, 1856

gewonnen werden, bezeichne man mit a, b, c, d, . . . . z. Ein Ableitungsgesetz auf eine Grösse anwenden heisst soviel, als aus der gegebenen Grösse mittelst des Ableitungsgesetzes, welches durch irgend ein Ableitungszeichen bestimmt ist, eine neue Grösse hervorbilden.

Wenn aus zwei von einem Puncte aus nach gewissen Richtungen gezogenen, und eine bestimmte Länge habenden Geraden eine neue, den zwei gegebenen äquivalente abgeleitet werden soll, so besteht dieses Ableitungsgesetz darin, dass man in der Ebene des von diesen zwei Geraden gebildeten Winkels ein Parallelogramm construire, und dann die Diagonale ziehe.

Fig. 5. Es seien z. B. AB und AC die oben erwähnten Geraden, so

ß nennen wir AB und AC die Theile von AD, AD heisst die Summe, das Ableiten dieser Grösse nennen wir das Summiren (Addiren), das Gesetz, nach welchem diese Ableitung geschieht, die Summation (Addition), und zwar alles dieses in concreter Bedeutung.

Bezeichnen wir mit E irgend eine Grösse, und mit a, /?, y, d,

.........beliebige Ableitungsgesetze, durch deren Anwendung auf E

die Grössen E.a, E.ß, E.y, E.S,........., die wir kurz durch a, 6, c, d, . . .

a

usdrücken wollen, so dass: E.a = o, E.ß = 6 u. s. w. sei, erzeugt werden: die Forderung, dass aus E durch die Anwendung der Ableitungsgesetze », ß, /, ... zuerst die Grössen a, b, c, . ■ ■ . hergeleitet, und aus diesen Grössen dann mittelst des Summationsgesetzes deren Summe abgeleitet werde, werden wir durch das Symbol: £. (a -j~ ß -J- y -J- d' -j- . . . .) andeuten; «, ß, y, §, . . . . nennen wir mm eine Summe, und die einzelnen Ableitungsgesetze «, ß, y, ... . Summanden (Theile), und zwar alles dieses in abstracter Bedeutung.

Fig. 6.

Es sei nun folgende Summe: E [(— 2) -f- (— 3 «')] räumlich darzustellen.

Es sei AB — E. (+ 1), und AC = AB = E. (-f- *'), so ist AD =

E. (— 2), und AF — E. (— 3 i), folglich AG die mit E. [(— 2) -f( — 3 *')] vorgestellte Grösse.

Dass man die Positionszeichen mit Parenthesen umgibt, soll blos die Möglichkeit ihrer Verwechslung mit den ihnen gleichen Operationszeichen verhüten.

Wäre E. [(+ 1) -f- (-f- 3 «')] räumlich darzustellen, so würde AK dieser Forderung genügen.

Man stelle noch folgende angezeigte Summe räumlich dar: E. [(— 3) -(- (+ 1 — 2 »')].

Fig. 7.

Es sei auch hier AB = E. (+ 1), AD wird dann E. (-(- 1 — 2 t) vorstellen; AF wird E. (— 3) sein: aus AD und AF aber wird durch Summation die Grösse AG erzeugt; AG ist also die räumliche Darstellung der Summe: E. [(—3) + (+ 1—2»)].

Bezeichnen wir mit E irgend eine Grösse, und mit « ein beliebiges Ableitungsgesetz durch dessen Anwendung auf E die Grösse X erzeugt werde so, dass E. a = X. Soll man auf diese letzte Grösse neuerdings ein beliebiges Ableitungsgesetz z. B. ß anwenden, so wird dieser Gedanke, wie auch die so abgeleitete Grösse einfach dadurch ausgedrückt, dass man dieses zweite Ableitungsgesetz dem früheren rechts beisetzt, und also schreibt: E. a. ß. Nach dieser Erklärung ist der wahre Sinn ähn-