K. k. katholischen ober-gymnasiums, Schemnitz, 1856

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standen, da sich aus ihr X2 = — 9, und X = 4 I/ 9 ergibt. Nichts ist aber einfacher, als die geometrische Construction dieses Ausdruckes.

Fig. 3. Es sei XX' dieZahlenlinie.. — 10, — 9, —

.... 0, +1, +2, .........; über der Länge

T — 9 4-1 construire man einen Kreis, und errichte in 0 eine senkrechte Gerade YY', diese wird den Kreis in F und G schneiden; da 0F und OG die mittleren geometrischen Proportionalen zwischen den beiden Linien 0 4-1, und 0—9 sind, so überzeugt man sich leicht, dass die genannten Linien die Werthe (4 3 ») des Ausdruckes: 4 J/ — 9 darstellen.

Der imaginären Einheit i oder |/ — 1 müssen wir also die Bedeutung unterlegen, man solle vom Nllllpuncte der Zahlenlinie, oder vom Anfangspuncte des Coordinaten Systems rechtwinklig auf diese Zahlenlinie , oder Abscissenaxe sich einen Schritt seitwärts bewegen.

Es seien XX' und YV die rechtwinkligen Coordinaten der Zahlenebene, A ihr Anfang, AO die Einheit; man trage auf A Y diese Einheit auf, in M errichte man auf AYeine senkrechte Linie, und trage auch auf diese jene Einheit auf, so, dass AM = MB sei; durch diese beiden Stücke is die Lage und Länge der neuen Geraden AB, somit auch der in B befindliche Zahlenwerth der

Fig. 4. Zahlenebene, vollkommen bestimmt; d. h. das

Zeichen (4- 1 4- *) bedeutet die Grösse AB.

Jeden Ausdruck, der aus imaginären und reellen Grössen besteht, nennen wir eine Complexe Grösse: AB ist also eine complexe Linie, und die Zahl (4- 1 4“ t) eine complexe Zahl.

Ist die Zahl (— 1 4- »') räumlich darzustellen , so trage man die Einheit von A gegen X' und dann gegen V' auf; die Grösse AC wird dann der Zahl (— 1 4 0 entsprechen. Auf ähnliche Art findet man, dass: (4 1 — 0 — und (— 1 — *) — AD sei. Alle Arten complexer Zahlen sind in dem einzigen Ausdrucke (4 a 41) vereint dargestellt.

Es erübrigt uns noch zu zeigen, wie man mit den imaginären Zahlen die Summen, die PtO- dructe und die Potenzen, sowie die Differenzen, die Quotienten und die Radicalen bildet.

Sollen sich die Rechnungsoperationen mit imaginären Zahlen jenen der sogenannten Reellen organisch anschliessen, so ist vor allem nothwendig für die Grundoperationen im Allgemeinen solche Erklärungen aufzustellen, dass sie auf alle mögliche Verbindungen der Zahlen anwendbar seien, und dass aus diesen Erklärungen sämmtliche Gesetze des Calcüls auf eine ungezwungene Art hergeleitet werden können.

Die Erklärungen für die bekannten Grundoperationen sollen vor jeder derselben möglichst kurz gegeben, und dann die räumliche Darstellung des Resultates durch etwelche Beispiele gezeigt werden.

Die Möglichkeit, Grössen mittelst Zahlen zu bestimmen, beruht im Allgemeinen auf der allen Grössen gemeinsamen Beschaffenheit, dass man aus jeder derselben unendlich viele andere von gleicher Art ableiten kann. Die Weise dieser Ableitungen soll Ableitungsgesetz genannt werden; dessen Zeichen seien «, /?, y, J, .........o); die Grössen, welche aus irgend einer Grösse z. B. E durch die Anwendung der Ableitungszeichen