K. k. katholischen ober-gymnasiums, Schemnitz, 1856

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die Stellenzeiger jener Grössen. Wir setzen aber hiebei voraus, dass es möglicli sei, die gegebenen Grössen in eine einfache Reihe zu ordnen: haben wir es aber mit Grössen zu thun, welche sich einer solchen einfachen Anordnung nicht fügen, z. B. mit den Gliedern einer Doppelreihe, so sind die Stellenzeiger einer einfachen Reihe nicht genügend, und das Zahlengebiet muss zu einer Doppelreihe erweitert werden. Es sei eine solche Doppelreihe von Grössen :

S',

®',

<P

S3',

%

S3,

6,

e,

S,

F',

E',

D',

C',

B',

A,

B,

c,

A

E,

F,

*')

8‘,

7%

ß‘,

ß,

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8,

si

f',

e' ^ j

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b',

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b,

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d,

e,

f,

f,

e',

b',

c',

fl,

b,

C,

f,

f,

der Anfang sei in « : der Übergang von a zu einer beliebigen anderen Grösse z. B. £> ist auf sehr verschiedene Weisen möglich; man könnte den Weg: aßy§ D£>, oder: aß CD® u. s. w. einschlagen, d. h. von irgend einer Stelle der Reihe aßy .... aus, in sehr verschiedenen Richtungen fortgehen, um nach 2) zu gelangen. Ist die Doppelreihe eine stetig erfüllte, d. h. steht an jeder denkbaren Stelle eine Grösse, eine Zahl, so bilden diese Zahlen zusammen eine Zahlenebene, wie die einfache stetige Zahlenreihe eine Zahlenlinie darstellt.

Diese Theorie, wie es Witts tein treffend sagt, ist keine Anwendung der imaginären Zahlen auf die Geometrie, sondern die Zahlenebene ist geradezu die Sache selbst, nämlich das, den arithmetischen Begriff der imaginären Zahlen unmittelbar begleitende psychologische Phänomen.

Aus den bisher gesagten ist es klar, dass man die Zahlenebene, gleich jeder anderen Ebene durch ein rechtwinkliges Coordinaten-System darstellen könne.

Es seien diese rechtwinkligen Coordinate XX' und YY', ihr Ursprung oder Anfangspunct sei in A. Von diesen zwei Geraden kann welche immer die Zahlenlinie vorstellen; wählen wir zu diesem Behufe die Gerade XX\ AX sei die positive Richtung, dann wird AX' die negative sein: der Anfangspunct A wird die Stelle der Null einnehmen; alle denkbaren positiven Zahlen werden auf AX, so wie alle denkbaren negativen auf AX' ihre Stelle haben, und dort bestimmbar sein. Sobald aber irgend eine Grösse seitwärts von XX', also z. B. auf YY' sich befindet, so muss durch irgend ein Zeichen angezeigt werden, ob diese seitwärts liegende Grösse oberhalb, oder unterhalb der Geraden XX' zu suchen sei. Zur Erreichung dieses Zweckes genügen eines Theils die schon bekannten -f- und — Zeichen, so dass wenn die Richtung AY als positiv bezeichnet wird, A Y' die negative Richtung vorstellt. Diese zwei Zeichen sind aber, wie man es leicht sieht, nicht hinlänglich die von XX' seitwärts d. h. lateral oder transversal gelegenen Grössen von jenen zu unterscheiden , die sich auf XX' befinden. Wir sind also genöthigt noch ein neues Zeichen zu wählen, um die Lage der lateral gelegenen Grössen genau angeben zu können. Zu diesem Behufe wählen wir den Buchstaben i, oder das Zeichen —1, so, dass i= 1/-1. Es stelle AB = AC = AD = AE die Einheit vor, dann muss nach den gesagten AB = 1,

Fig. 2. T

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AC — — 1, AD — -f- i und AE = — i sein.

Die Bezeichnung und räumliche Darstellung des oben beispielweise angeführten Ausdruckes: G; J/ — 9 hat nach den eben gesagten nicht die mindeste Schwierigkeit; denn: + [/ —• 9 = + |/9. J/ ■—■ 1, und da V — 1 = l, so ist + I/ - 9 = i 1/9. < = i 3. i. Man trage nun die Einheit AB von A gegen Y und dann gegen Y‘ dreimal auf, so sind AF und AG die zwei Werthe des Ausdruckes + J/ — 9; die äusserst unpassend imaginär genannte Zahl + (/ — 9 ist also nicht nur bezeichnet, sondern auch räumlich dargestellt.

Da die räumliche Darstellung der so genannten imaginären Zahlen das geeigneteste Mittel ist, wodurch ihre Realität nachgewiesen werden kann, so möge hier noch auf eine sehr einfache Art die Grösse + [/— 9 räumlich dargestellt werden. Bekanntlich ist + J/ — 9 aus der Proportion: —9: X=X: 1 ent-