K. k. katholischen ober-gymnasiums, Schemnitz, 1856

—•15

4

Die Subtraction führt uns zunächst auf den Begriff der Null und der negativen Zahlen. Die oben

angeführte einseitige Zahlenreihe erweitert sich hiedurch zu einer nach beiden Seiten hin unbegrenzten,

.......

— 4, — 3, — 2, — 1, 0, + 1, -f- 2, + 3, + 4,.......Die so erweiterte natürliche Zahlenreihe nennt man

a

lgebraische ganze Zahlen.

Damit die Division unter allen Umständen ausführbar sei, bedarf es der Aufstellung solcher Zahlen die in gleichen Abstäüden von einander zwischen je zwei benachbarten Zahlen der bisherigen Reihe enthalten sind. Heisst der Divisor « , so geht die zuletzt angeführte Zahlenreihe in folgende über:

4 3 2 1 1 2 3 4

........................1--------)--------5--------) "1------> H------j 4------> H------>............

n

nnn nnnn

Auf diese Art erscheinen die Brüche als eingeschaltete (interpolirte) Glieder der durch die Subtraction bereits erweiterten Zahlenreihe. An die Brüche lehnt sich die unendlich grosse Zahl an.

Die Radication nöthigt uns zu einer weiteren Interpolation der Zahlenreihe, wobei sich der Begriff der irrationalen Zahl herausstellt. Diese Interpolation unterscheidet sich aber von der vorhergehenden, da man bei dieser eine, zwischen zwei ganzen Zahlen liegende irrationale Zahl durch eine Theilung des Intervalles in gleiche Theile nicht erreichen kann. Die Erscheinung dieser Zahlengattung berechtigt uns an jeder beliebigen Stelle der Zahlenreihe eine Zahl zu denken. Die ursprünglich lückenhafte Zahlenreihe verwandelt sich in eine Zahlenlinie, deren sämmtliche Puncte Zahlen vorstellen. Die geometrische Construction bietet uns nun ein leichtes Mittel dar eine irrationale Quadratwurzel auf elementaren Weg auf der Zahlenlinie vollkommen genau darstellen zu können.

Es sei a. B. G- J/5 zu bestimmen. Bekanntlich ist 5 : x—x: 1 so viel, als: x2 = 5 und x = -f- 1/5. Es sei also die Zahlenlinie ... — 2, — 1, 0, —f— 1, —f— 2, —1— ... Über 0 —(— 5 als Diameter construire man einen Halbkreis, errichte in -f- 1 eine senkrechte Linie, so wird 0A = Oß = 0C die gesuchte + J/5 sein."!Dasselbe Resultat bekommt man, wenn der Halbkreis über 0 — 5 construirt, und die senkrechte Linie in — 1 errichtet wird.

Eine weitere Betrachtung der Radication führt uns zu den so genannten imaginären Zahlen, denen das Bürgerrecht in der Arithmetik zu gestatten noch jetzt viele Bedenken tragen. So lange man sich unter imaginären Zahlen blos eingebildete oder unmögliche Zahlen denkt, darf es uns gar nicht befremden, dass diese in der Mathematik stets grössere Wichtigkeit erlangende Zahlengattung kaum einer flüchtigen Betrachtung gewürdigt wird. Soll aber diese Zahlengattung das Bürgerrecht der übrigen geniessen, so ist es unbedingt nothwendig, dass auch ihr ein in der Wirklichkeit nachweisbares Verhältniss entspreche.

Jede Zahl, welche weder positiv noch negativ sein kann, zu deren Darstellung man also ein neues, von -f- und — verschiedenes Vorzeichen besitzen muss, wird eine imaginäre Zahl genannt. So gibt z. B. der Ausdruck : + V —9 für die Wurzel den Zahlenwerth 3, allein weder das Vorzeichen +, noch das Vorzeichen — genügt der Forderung der Aufgabe: daher wird diese Wurzel gewöhnlich imaginär genannt.

Wenn man in der Arithmetik den Begriff imaginär und unmöglich sich als identisch denkt, so vergesse man nicht, dass man mit demselben Rechte auch die negativen und irrationalen Zahlen für ünmögliche

halten müsse so lange, bis die mangelhafte Zahlenreihe: 1, 2, 3, 4,----gehörig nicht erweitert und interpolirt

w

ird. Die Unmöglichkeit liegt auch bei den imaginären Zahlen in dem Mangel einer neuen passenden Erweiterung des Zahlengebietes. Diese Erweiterung kann in der Längenrichtung der Zahlenlinie nicht vorgenommen werden, da, wie wir es gesehen haben, die Zahlenlinie von — Q)D bis -t- Qo stetig, d. h. lückenlos verläuft; sie umfasst also in dieser Richtung bereits alles Mögliche: es bleibt daher blos die seitliche Erweiterung des Zahlengebietes übrig; mit anderen Worten : die Zahlenlinie mUSS ZU einer Zahlenebene erweitert werden.

Damit dieser wichtige Begriff fester begründet werde, werfen wir einen Blick auf die Entstehungsweise der Zahlen.

Wenn irgend eine Reihe von gleichartigen Grössen

d', c', b', a, b, c, d,

gegeben wird, so sind die Zahlen- 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3,