K. k. katholischen ober-gymnasiums, Schemnitz, 1855

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auf irgend eine Potenz zu erheben sei, erhellt aus den allgemeinen Regeln dieser Operation. Es sei das Quadrat des Polynoms a xa 4- b x"~~' + c xn~2 + . . .zu bestimmen. Nach dem elementaren Begriffe des Po- tenzirens ist:

(«1" -f- b xn~1 4* c xn~2 4~ . . .)2 = (ax" 4" b xn~l + cx"~2 + . . .) (ar" + b xn~1 + c x"~2 + . . .)

Vermöge des schon begründeten Rechnungs-Mechanismuses ist:

a 4- b 4-c -f- d .. . a —f- b 4-c —|— d . . . a2\ + 2ab\ 4- 2 ac)+ 2 b c\ 4-c2j + . . .

1 !

Das Quadrat ist also;

2ab\ X*"-' + 2ab1C\ X*"-Z-h 2éc^ ^"-3+ C* ^2n-4 _j_ . . .

’ 4-.. . +• ..

Wenn man den Bau des vorliegenden Schemas prüfend betrachtet, so wird man die Bestandtheile eines Quadrates leicht in Worten kleiden können; diese Bestandtheile sind folgende: Das Quadrat eines jeden Theiles, dann die doppelten Producte aller Amben der Theile ohne Wiederholung. Nach demselben Schema kann man auch sagen: Das Quadrat eines jeden systematischen Polynoms besteht: aus dem Quadrate des letzten Gliedes; aus dem doppelten Producte der zwei letzten Glieder; aus dem doppelten Producte des letzten und vorvorletzten, mehr dem Quadrate des vorletzten Gliedes; aus dem doppelten Producte des vorletzten und des, diesem vorangehenden Gliedes; endlich, wenn das Polynom ein Trinom wäre, aus dem Quadrate des ersten Gliedes.

Es sei z. B. 3 x2—x 4- 5 zum Quadrate zu erheben

(3 a:2 — a:4-5)2 = 9a4 — 6 a:3 -f- 31a:2 — 10* 4- 25

denn nach dem Multiplications-Schema hat man:

3, - 1,4- 5 3,- 1,+ 5 9,-6,4-31,-10,4-25

folglich das Quadrat: 9 a:11—6 a:3 4* 31a:2—10 a: 4” 25.

Nach der zweiten Methode wäre die Ausarbeitung:

(3 x2)2 4- (— a:)2 4-(5)2 4-(2.3 a:2.-a:) 4-(2.3 a:2.5) 4-(2. — a:.5) =

(9 a:‘) + (+ x2) 4- (25) + (— 6 a:3) + (30 x2) 4- (— 10 x) =

9 a:4 — 6 x3 -f 31 x2 — 10 x 4- 25.

Nach der dritten Methode kann das Quadrat dieses Trinoms auf folgende Art bestimmt werden:

(5)2 4- (2.5. — a:) 4- [(2.5.3 a;2) 4- (— #)2] 4- (2. — x .3 x2) 4- (3 x2)2 =

(25) 4- (— 10 a:) 4- [(30 a:2) -f- (a:2)]4- (— 6 x3) 4- (9 * 4) =

25 — 10 x 4- 31 x2 ■— 6 a;34- 9 x4.

Aus diesen drei gleichen Resultaten sieht man auch deutlich, dass die Ordnung der auszuführenden Operationen ohne Störung des Endresultates welche immer sein könne. Für die Bestimmung der Quadrate dekadischer Zahlen werden wir die erste oder die dritte Methode anwenden, da nach diesen die Ziffern des Endresultates auf einmal hingeschrieben werden können.

Zu diesem Ende sei 42'31 zum Quadrate zu erheben.

(42-31)2 = 17901361; denn 4231

_________4231

1

7901361 = 1790-1361;