K. k. katholischen ober-gymnasiums, Schemnitz, 1855

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Die zweite, aus der wiederholten Addition eines und desselben Summanden entstandene directe Operation ist die Multiplication. Es sei :

axn -+- bx"-* -f cx"~2 -+-... mit

«*m + 4~ y xm~2 4- ... zu multipliciren;

nach den bekannten Multiplicationsregeln ist:

ax" -f- b xa~* -(- c xn 2 H- . . . .

ccxm -f- ß xm~i + y xm~2 -(-....

aax"+m+aßx" + m~ i+ayx"+m-2-\-bax"+m-1 -\-bßx''+m~2-\-byx'aJs-m~'i ~srcax,'Jrm-2 -{■ cßx''+m-3-\-cyxn')rm^ x... oder die gleichnamigen Glieder untereinander geschrieben und den gemeinschaftlichen Factor überall herausgehoben:

Aus dem Begriffe des systematischen Polynoms geht auch hervor, dass es genügend sei, wenn man im Producte den höchsten oder niedrigsten Exponenten (Index) der Grundzahl x bestimmt hat. Dieses Bestimmen des Exponenten kann füglich nach beendigter Multiplication geschehen.

Die Betrachtung des obigen Productes führt zu einem sehr einfahen Rechnungs-Mechanismus der Multiplication : man schreibe die Coefficienten der gegebenen Factoren untereinander, und fange die Multiplication bei der niedrigsten Stelle an, schreite dann zu der nächst höheren Stelle, und bilde mit Hülfe dieser die nächst höhere Ordnung im Producte, lasse aber keine partielle Multiplication aus, welche im Producte dieselbe Ordnung gibt, addire sogleich alle gleichnamigen partiellen Producte, jedem Gliede des Resultates füge man die Grundzahl x bei, und bestimme durch Addition der niedrigsten Exponenten den Exponent der niedrigsten Stelle des Productes, so ist das ganze Product gewonnen.

Diese Regeln auf das obige Beispiel angewendet, geben folgenden Rechnungs-Mechanismus:

a

a

b

ß

c

7

ay

by

cy

a ß

bß

cß

a a

b a

c a

Der übliche Rechnungs-Mechanismus der Multiplication ist auf diese Art zusammengestellt.

Die Exponenten der niedrigsten Stelle in den Factoren sind : n — 2, und m — 2, es wird also die niedrigste Stelle des Productes c y die Grundzahl x mit dem Exponenten n + m — 4 haben, die nächst höhere Stelle wird das x mit der nächst höheren Potenz, also mit dem Exponenten n-\~m — 3 u. s. w. bekommen; somit ist das ganze Product bestimmt.

Es sei das partielle Product c y E, by-\-cß~\-...= D, a y b ß c ct = C, aß-\-~

b a — B, a ct = A, und n + m = r, so wird das Product folgende Gestalt haben:

Damit wir die Zweckmässigkeit dieses Rechnungs-Schemas leichter und beliebter machen, wollen wir etwelche Multiplicationen systematischer Polynome ausführen. Es sei: