K. k. katholischen ober-gymnasiums, Schemnitz, 1855
Die systematischen Polynome. „Gerade unserem nebligen, stützen- und bestandlosen mehr träumenden als dichtenden Zeitalter ist das scharfe Augenmass der Mathematik so nöthig, der feste'' fialt ans Feste.“ Jean Paul. Wenn die systematischen Polynome im Gebiete der Algebra von grosser Wichtigkeit sind, so erlangen sie bei dem jetzigen gymnasial Unterrichte aus der Mathematik eine weit grössere Bedeutung. Der Organisations-Entwurf fordert hinsichtlich des arithmetischen und algebraischen Unterrichtes von den Obergymnasien „Einsicht in den wissenschaftlichen Zusammenhang der Rechnungsoperationen und Zahlgrössen“, also eine streng wissenschaftliche Begründung aller Rechnungsoperationen auch der besonderen Zahlen, nachdem die Schüler im Untergymnasium sich schon „Sicherheit im Zahlenrechnen erworben haben.“ Diese Rechnungsoperationen sind hier „nicht als eine Wiederholung des den Schülern längst bekannten, sondern als eine Erhebung desselben zu begrifflicher Einsicht“ in den Vordergrund des Unterrichtes gestellt. Dieser in der Natur der Sache liegenden Forderung des Organisations-Entwurfes kann nur durch gründliche Behandlung und gebührende Berücksichtigung der systematischen Polynome vollkommen Genüge geleistet werden. Den innigsten Zusammenhang der Rechnungsoperationen der systematischen Polynome mit denen der besonderen Zahlen, wie auch die Begründung zweckmässiger Rechnungs-Mechanismen für die Rechnungsoperationen der letzteren , ist der Gegenstand vorliegender Abhandlung, bei welcher die allgemeinen Shtze und Regeln der Rechnungsoperationen, wie auch der richtige Begriff eines Polynoms als bekannt vorausgesetzt werden. Ein Polynom, dessen Glieder nach Potenzen eines und desselben Buchstaben fallend oder steigend geordnet sind, nennt man ein systematisches Polynom. Die allgemeine Form eines solchen Polynoms ist: Axa -+- B x"~1 -h Cx"—2 Gx° -f- Hx—1 + .... + Mxi-" -+- Nx~" wobei für unsere Zwecke A, F, C ... G, H .... M, N reelle, Buchstaben- oder Zahlen-Coefficienten, die übrigens positiv oder negativ und zum Theil auch Null sein können, x eine beliebige positive Grundzahl, n, n—1, n—2,... —n deren ganze Exponenten bezeichnen sollen. So ist z. B. das Trinom: a xs + 26 x3—c ein systematisches Polynom des fünften Grades, worin die Glieder mit den Potenzen a;4, x2 und x fehlen. Oft ist es nothwendig solche fehlende Glieder in Evidenz zu setzen; dieses kann mit Hülfe des Coefficienten Null leicht bewerkstelliget werden; so ist z. B. das obige Trinom gleich mit: a x3 -{- 0. a?4 -f- 26 x3 -}- 0. x2 -f- 0. a?1—c x° bekanntlich pflegt man x° als Factor wegzulassen, also statt — ca;0 nur — c zu schreiben. 1*
