A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1905-1906. tanévről
— 8 — Ha a tárgyat, mint valamely sokaság elemét, veszem számba, eltekintek azon tulajdonságoktól, melyek a tárgyat, mint egyedet, a sokaság többi elemeitől megkülönböztetik. Ilyen egyedi tulajdonságok minden tárgyban okvetlenül léteznek. Másrészről azonban, ha egy sokaság minden egyes elemét számba akarom venni és mindegyiket csak egyszer, a már egyszer számba vett elemre ismét ráruházom az ő egyedi jegyét, hogy ne kerüljön ugyanazon elem még egyszer számbavételre. Igen fontos a sokaságok egyértelmű megfelelése. Mint látni fogjuk, maga a számlálás is ezen alapúi. Ha két sokaság olyan, hogy valamiféle eljárással az egyik sokaság egy-egy eleméhez a másik sokaság egy-egy elemét, mint társat rendelhetem, s az egyik sokaság minden elemének egy és csakis egy elem felel meg a másik sokaságban: a két sokaság egymásnak egyértelműen megfelel. Az egyértelmű megfelelés kölcsönös. Az egyértelmű megfelelésnek két törvényére a számláló számok tanában szükségünk lesz. E két törvény a következő : I. Ha két sokaság egy harmadikkal egyértelmű megfelelésben van, akkor azok egymásnak is egyértelműen felelnek meg. II. Ha két sokaság egymásnak egyértelműen megfelel, az egyértelmű megfelelés akkor is fennáll, ha az egyik sokaság elemeinek sorrendjét tetszőlegesen megváltoztatjuk. Az első tétel helyessége látható. Ha ugyanis az egymásnak megfelelő elemeket egyszerre veszem számba, már létesítem az első és második sokaság elemeinek egyértelmű megfelelését, mert az első sokaság egyik elemének társa a második sokaságban épen az az elem, mellyel közös társat bír a harmadik sokaságban. A második tétel nyilvánvaló volna, ha fölhasználnók azt a tételt, hogy az elemek száma az elemek sorrendjének megváltoztatásával nem változik. Mivel azonban ezen tételt épen a számlálás törvényeinek alapjává akarjuk tenni, ettől függetlenül kell bizonyítanunk. A bizonyítás igen egyszerű ; alapja az első tétel. Legyen az első sokaság A, és elemei bizonyos meghatározott sorrendben : ai, a2, a3,... ; a második sokaság B, és elemei bi, b2, b3, . . . ; az egyértelmű megfelelés tűnjék ki a sorrendből úgy, hogy ai társa bi, a2 társa ba stb. Jelöljük a A elemeit, miután azok sorrendjét tetszőleges módon megváltoztattuk, ci, C2, ca . . . jelekkel, úgy, hogy Ci az ai, aa . . . elemek valamelyike s igy tovább. Azt állítom, hogy a ci, c«, cs . . . elemek a bi, b*, b3 . .. elemeknek egyértelműen megfelelnek, vagyis ha egyszerre mondom : bi, Ci ; ba, C2 ; stb., a b- és c-féle elemek egyszerre fogynak el. Hogy ezt belássuk, járjunk el a következőképen. A A sokaság és a C sokaság (mely különben maga a A, csakhogy más sorrendben) első elemeit hasonlítsuk össze. A A sokaság első elemét cseréljük fel azzal, amely a C-ben első helyen áll, a többit hagyjuk a helyén. Az így nyert Ai sokaság az eredeti A sokaságtól abban különbözik, hogy az első helyen nem ai, hanem
