A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1905-1906. tanévről
— 9 — ci áll ; ahol pedig a ci állott (mely különben az a-féle elemek egyike), odakerült az ai ; a többi elem ellenben a helyén maradt. Az így nyert sokaság a A-val egyértelmű megfelelésben van, mert a A-ban az ai-nek megfelelő elem a Ai-nek c, nevű eleme ; A Ci nevű elemének ellenben a Ai-nek ai nevű eleme felel meg; a többi elemek önmaguknak felelnek meg, tehát az egyértelmű megfelelés világosan látható. Mivel Ai a A-nak, A a ß nek egyértelműen megfelel : az első alaptétel értelmében Ai a B-nek szintén egyértelműen felel meg. Most hasonlítsuk össze a Ai sokaságot a C-vel. Mindkét sokaság első eleme megegyezik, de a többi a sorrend tekintetében különbözik; ha nem különböznék, akkor már ezen lépéssel a bizonyítás végére jutottunk volna. Helyezzük a Ai sokaságban második helyre azon elemet, mely a C-ben második helyen áll : a C2-t, s a c> helyére az a^-t. Az így nyert sokaság, melyet Aa-vel akarunk jelölni, a A-ra és Ai-re elmondottak értelmében a Ai-el egyértelmű megfelelésben van; Ai megfelel a B-nek, tehát A2 is a B-nek egyértelműen megfelel. Ha most a A2 harmadik helyére a C3-at helyezzük s aa-at a C3 helyére, az így nyert A3 sokaság is egyértelmű megfelelésben van a B-vel. Ezen eljárást mindaddig ismételjük, míg végre az elemek sorrendjét az elempárok áthelyezésével a C-ben levő elhelyezés szerint változtattuk meg ; a következtetést minden lépésénél ismételve, belátjuk, hogy C a B-nek egyértelműen megfelel. Az egyértelmű megfelelés bebizonyítása, mint láthatjuk, két elem áthelyezésekor közvetlenül látható egyértelmű megfelelésre, mint egyszerűen belátható tényre van visszavezetve, míg maga a bebizonyított tétel nem épen ily könnyen látható be, tehát célszerű volt bebizonyítani. A bizonyításban még e^y hézagot kell kitölteni. Ha a A-nak ai nevű elemét a ci helyére tettük és fordítva, s ha most a Ai-nek a2 nevű elemét C2 helyére akarjuk tenni s ezen eljárást ismételni, nem akadunk-e meg valamelyik lépésnél ? A felelet az, hogy nem. Ugyanis az elemek bizonyos egyedi jegyek által valamennyien különböznek egymástól (különben nem lehetne azok sorrendjéről beszélni); ennélfogva ci nem azonos a C2-vel, s így ha a Ai-nek a2 nevű elemét a C2 helyére akarjuk tenni, ezen kívánságunk teljesülhet, mert c« az ai aa as . . . elemek valamelyike, de az ezek közül kiragadott s első helyre tett ci-el nem azonos, tehát a többi között feltalálható; hasonlóképen a Aa-ben is lehetséges az előbb említett áthelyezés, mert C3 nem egyezik a ci C2 elemekkel, tehát a többiek között bizonyosan jelen van. Az előbbiekben hallgatagon feltételeztük, hogy a sokaság véges számú elemből áll ; a tér és idő, gondolkozásunk ezen két formája, olyan sokasága az ő saját elemeinek, mely az előbbi feltételt éppen nem teljesíti. Az analysis határértékeinek tana azonban megtanít, hogy miként lehet a tér és idő természetével bíró (folytonos) sokaságok körében a viszonyok leírását a véges számú elemekből álló sokaságok viszonyainak leírására alkalmas számláló számokra visszavezetni.
