A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1905-1906. tanévről

— 39 —

ezekhez járul még az egyenlőség definitiója :

és még ez :

(a+k) — (b+k) = (a—b) (a+1) — 1 = a.

4)

Vonjunk ezen definitiókból következtetéseket. Azonnal észrevesszük, hogy a 4) definitio értelmében egyenlőknek vett számok egymás helyébe téve, az összeadás és szorzás eredményét meg nem változtatják, vagyis

[(a+k) - (b+k)] + [(c+h) - (d+h)] •= (a—b + (c—d)

[(a+k) - (b+k)] [(c+h) - (d+h)| = (a-b) (c-d)

(egyenlők összege és szorzata egyenlő). E tétel a számláló számok körében önként értetődik, mert ott két szám egyenlősége azt jelenti, hogy mindkettő a számsor ugyanazon tagja (legfeljebb más néven) ; itt azonban a 4) definitióból következtetni kell. Ha e két utóbbi egyenlet baloldalán kijelölt összeadást és szorzást az 5) és 6) egyenletekkel kijelölt módon (a különbségek összeadásának és szorzásának alaki szabálya szerint) elvégezzük és az összeg első és második számából a közösen előforduló h+k tagot, a szorzat első és második számából a közösen előforduló h(a+b) +k (c+d) +2kh tagot elhagyjuk |ami a 4) értelmében meg van engedve], az összeg és szorzat kifejezése átmegy az 5) és 6) jobboldalába, vagyis (a—b) és (c-d) összegébe, illetőleg szorzatába. Lássuk most a nulla szerepét.

Ha az 5) és 6) egyenletekbe a=b t, vagy c=d-t írunk, vagy mindkettőt egyszerre írjuk, azt látjuk, hogy ha bármely szám A,

0+A =

A

7),

A+0

A

8),

0 ■ 0 =

0

9),

0. A —

0

10),

A. 0 =

0

11),

0. 0 =

0

12);

a bebizonyításnál mindig alkalmazzuk a 4) egyenletet, pl.

(c—d) + (a—a) = (c+a) — (d+a) = (c—d),

ami a 8) egyenlet. E szerint a nulla, akár mint első, akár mint második összeadandó, az eredményen nem változtat ; a szorzatot pedig nullává változtatja. Ilyen sajátsággal egy szám sem bír; a nulla tulajdonságai tekintetében kivételes számérték.

Ha az 5) és 6) egyenletekben (a- b) és (c— d) szerepét fölcseréljük, a jobboldalon a és c, b és d felcseréltetnek, de ez a jobboldal tartalmát meg nem változtatja, mert a természetes számok körében az összeadás és szorzás commutativ. E szerint számpáraink körében is az összeadás és a szorzás commutativ művelet.