A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1905-1906. tanévről
hozzá, amidőn a+1 származik, de ekkor még b—1-et kell hozzáadni, ami épen az 1) egyenlettel kifejezett tulajdonság. Ezután lássuk be, hogy az 1) képlet az összeadást valóban teljesen értelmezi. Igaz ugyan, hogy az 1) képlet az összeadást magával az összeadással értelmezi, de ha ezen képletet ismételten alkalmazzuk, a+b = (a+1) + (b-1) -= [(a+1) +1] + [(b—1) -1] =..,. mindig eggyel nagyobb számhoz eggyel kisebbet kell adnunk, mint azelőtt, úgy hogy végre az eljárás véges számú megismétlésével odajutunk, hogy egy bizonyos számhoz egyet kell adni, tehát a számsor következő tagjára kell átmenni. E szerint az összeadás vissza van vezetve két egyidejűleg végzendő számlálásra : előreszámlálásra az első számtól s visszaszámlálásra a második számtól vele egyidejűleg, pl. 5+4 = 6+3 = 7+2 = 8+1 = 9, s az eljárás bizonyosan véget ér, mert b a sornak meghatározott tagja lévén, a visszaszámlálás b-től kezdve végre az 1-hez vezet. Belátván tehát, hogy az 1) képlet recursiv módon teljesen értelmezi az összeadást, tanulmányozzuk az összeadás tulajdonságait. A tételek, melyekhez eljutunk, közönségesen ismertek ; mi ezen tételekhez a mennyiségekre való vonatkozások nélkül tisztán a definiáló 1) egyenlet s az egyértelmű megfelelés eloei segélyénél fogunk eljutni. Az első tétel az összeadás commutativ tulajdonsága. Hogy ezt bebizonyíthassuk, tegyük a következő észrevételt. Ha a számsorban egyik tagtól (a) kiindulva, előre haladunk mindaddig, míg valamelyik előre kijelölt, az a-nál nagyobb (b) tagig eljutunk s ezzel egyidejűleg b-től visszafelé haladunk úgy, hogy egyszerre mondjuk : a, b ; a+1, b-1 ; (a+1) +1, (b—1) —1 ; stb., az előreszámlálásban az a-hoz s a visszaszámlálásban a b-hez egyszerre jutunk el Ennek belátása igen könnyű. írjuk fel az a-ra következő számokat : a, a+1, [(a+1) +1], .. . [(b-1) -1], b-1, b s írjuk fel ugyanezeket megfordított sorrendben : b, b—1, [(b—1) —1], .. . [(a+1) +1], a+1, a A két sorban ugyanazon elemek vannak, de ellentétes sorrendben. Ha a sorrend ugyanaz volna, a két sor elemei egyértelmű megfelelésben volnának egymással; mivel azonban az egyértelmű megfelelés a sorrend megváltoztatása után is létesíthető, ha valamilyen sorrendben már egyszer létezett: belátható, hogy ha az első sorban a-nak társúl a második sor b-jét, az első sor második tagjának, a+l-nek a második sor második tagját, b—1-et stb. rendeljük, az első sor mindegyik eleme kap társat a második sorban, s hogy az első sor utolsó tagjának, b-nek társa a második sor utolsó tagja, a lesz. Különben közvetlenül is belátható. Ha ugyanis az egyik sort kétszer felírjuk: a, a+1, (a+1) +1, . . . (b-1) -1, b-1, b a, a+1, (a+1) +1, . . . (b — 1) —1, b-—1, b ~ 14 —
