A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1905-1906. tanévről

- 15 a két sor egyértelmüleg megfelel egymásnak, mert az elemek önmaguknak felelnek meg, a az a-nak, a+1 az a+l-nek stb. Tegyük most a második sor első elemét az utolsó helyre s az utolsót az elsőre; ekkor a két sor ez lesz:

a, a-f-1, (a+1) +1, .... (b - 1) —1, b—1, b

b, a+1, (a+1) +1, . . . , (b —1) -1, b-1, a

s ekkor az egyértelmű megfelelés látható, mert a társa (az első sorból) b a második sorban és viszont. Most a második sor második elemét cseréljük fel az utolsóelőttivel :

a, a+1, (a+1) +1,- (b-1) -1, b-1, b

b, b-1, (a+1) +1, . . . . (b-1) —1, a+1, a

ekkor is létezik az egyértelmű megfelelés, mert a és a+1 tagoknak (az első sorban) b és b—1 a társa és viszont ; a többi elemek pedig önmaguknak felelnek meg. Ezen eljárást ismételve, végre látható, hogy az egyértelmű megfelelés akkor is fennáll, ha a második sor elemeinek sorrendjét ellentétesre változtatjuk. Az elmondottak tehát bizonyítják, hogy ha a számsor valamely tagjától (a) előre s ezzel egyidejűleg valamely nagyobb tagjától (b) visszafelé számlálunk úgy, hogy egyszerre mondjuk: a, b; a+1, b—1, stb., az előre- számlálásban a nagyobbikhoz s a visszaszámlálásban a kisebbikhez egyidejűleg jutunk el. Nézzük meg, hogy mi következik ebből az összeadásra nézve ? Ha a+b, akkor az összeadás recursiv képletét ismételten alkalmazva : a+b = (a+1) + (b—1) =~ [(a+1) +1] + |(b - 1) —1| =-....

Azt látjuk, hogy e képlet ismételt alkalmazása tulajdonképen nem áll egyébből, mint abból, hogy a-tól egy-egy hellyel előre s ezzel egyidejűleg b-től egy- egy hellyel visszafelé haladunk. Ezen eljárás ismételt alkalmazásával kell, hogy egyszer az a-tól a b-ig eljussunk ; de ekkor a visszaszámlálás a b-től az a-ig juttat el, tehát az eredeti összeg átmegy b+a-ba, vagyis ki van mutatva, hogy ha

a+b, akkor a+b = b+a,

ha pedig

a+b, akkor az előbbiek értelmében b+a = a+b,

tehát fordítva is, mert az egyenlőség két oldala felcserélhető. Tehát bármely szám legyen a és b,

a+b = b+a 2),

ami az összeadás commutativ tulajdonságát fejezi ki, vagyis azt, hogy két szám összege képzésénél a két szám szerepe felcserélhető. Ez a tétel a meny- nyiségek összeadásánál azonnal látható; mi azonban a mennyiségekre vonatkozást elkerültük s csupán a számsorra s az egyértelmű megfelelésre hivatkoztunk. Az összeadás ezen tulajdonsága feleslegessé teszi, hogy a két számot külön névvel (augendus, addendus) nevezzük.

Három szám összege tizenkétféle módon képezhető. A képzési módok közül kettő ilyen :

(a+b) +c, a+ (b+c),