Református teológiai akadémia és gimnázium, Pápa, 1926

III. A párhuzamosok axiómájának szerepe a geometriában. Székfoglaló értekezés. Irta Moravecz Károly gimn. tanár

— 25 — Nézzük a Bolyai-féle geometriai rendszer keletkezését. Ő a XI. axiómát elvetette; az egyes geometriai problémákat úgy tanulmányozta, hogy a XI. axiómát mindenütt egy, a XI. axiómát tagadó tétellel helyettesítette és így biztosra vette, hogy, ha a XI. axióma bebizonyítható, akkor vele ellentétes axiómának felhasználása által keletkezett geometriai fejtegetések sorozatában valahol feltétlenül ellenmondásnak kell létrejönni s ezzel indirekte bebizonyította volna a XI. axióma igazságát. Azonban nem így történt. Egymásután kidolgozva az emiitett módon az egyes problémákat, sehol sem jutott ellentmondásra. Az így kidolgozott problémák összeségében aztán egy olyan geometriai rendszert kapott, melyben a XI. axióma nem érvényes. Ezzel bebizonyította egyrészt azt, hogy a XI. axióma független a többi axiómától; másrészt egy új, logikailag teljesen kifogástalan, egységes geometriát kapott, amelyet Bolyai János után Bolyai-féle geometriának nevezünk. Bolyai János tehát geometriájában elvetette a XI. axiómát. Szerinte egy ponton keresztül adott egyeneshez nemcsak egy, hanem több nem metsző egyenes vonható. Ö helyesnek tartotta azt a Legendre-féle tételt, hogy a háromszög szögeinek összege nem nagyobb 2 R-nél. E tételből az következik, hogy ha két egyenesnek egy harmadikkal alkotott belső szögeinek az összege pontosan 2 R, akkor azok nem metszhetik egymást, mert ellenkező esetben olyan háromszög keletkeznék, amelyben már két szög összege 2 R. A harmadik szöggel együtt az összeg nagyobb lenne 2 R-nél, mely a fentebbi tétellel ellenkezik. Hogy azonban a háromszög szögeinek az összege nem lehet kisebb 2 R-nél, azt csak úgy lehet bebizonyítani, ha a XI. axiómát igaznak fogadjuk el. Bolyainál tehát a háromszög szögeinek összege általában 2 R-nél kisebb, azaz egy ponton keresztül adott egyeneshez több olyan egyenest lehet vonni, amely az adott egyenest nem metszi. Tehát ábránkon (2. ábra)

1 AM és BN sugarak nemcsak akkor nem metszik egymást, ha az A-nál és B-nél levő szögek összege 2 R, hanem vannak olyan nem metsző sugarak is, amelyekre vonatkozólag ezen szögek összege kisebb, 2 R-nél. így, ha az AB-ből kiin—>dúlva egy egyenest BN felé elforgatok, el kell jutnom egy olyan helyzetbe, —>amelyben már az elforgatott sugár nem metszi AM-et, de a forgás minden —> —>előbbi pillanatában még metszette. Ezt a BN egyenest nevezi Bolyai az AM-mel párhuzamos egyenesnek. E meggondolásból következik, hogy Bolyainál két egyenes csak egyik —>irányban lehet párhuzamos, továbbá, hogy egy ponton keresztül adott AM 1 Bolyai J.; Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens. Maros-Vásárhely 1832 Fig. 1.