Református teológiai akadémia és gimnázium, Pápa, 1926

III. A párhuzamosok axiómájának szerepe a geometriában. Székfoglaló értekezés. Irta Moravecz Károly gimn. tanár

— 24 — lesz az a pont, amelyikre vonatkozóan már párhuzamosnak találjuk a két egyenest? Csak a végtelen pont? De az egyenes folytonos levén, folytonos átmenetnek kell lenni a véges pontok és a végtelen pont között. Hát ezen pontokra, ha ezeket képzeljük metszéspontoknak, mit mondhatunk? Párhuzamosak-e az ezekben találkozó egyenesek, vagy nem ? Mondhatjuk-e azt, hogy csak egy olyan egyenes van, amely nem véges távolságban metsz? Azt vesszük észre, hogy az euklidesi XI. axióma igazságát közvetlenül nem láthatjuk be, mert benne a végtelen fogalma szerepel, mely tapasztalatunkon, szemléletünkön, sőt képzeletünkön is kivül esik. Érthető, hogy Euklides utódai ezen axiómát egyszerűbb, könnyebben átlátható, de ugyanolyan érvényű tétellel akarták helyettesíteni. Mások kétségbe vonták ezen tétel független voltát és azt állították, hogy a többi axiómát segítségül véve, ezt a tételt be lehet bizonyítani, tehát hogy ez a tétel nem is axióma. Már Proklus, Geminus, Ptolemäus megpróbálják a tételt bizonyítani, de sikertelenül. A XIII. században az arab Nasir Eddin, a XVI. században Clavius, később Desargues, Borelli, Giordano da Bitonto foglalkoztak e problémával. Girdamo Saccheri (1667—1733) indirekt úton akarja bizonyítani a tételt. A XI. axiómát ezt tagadó axiómákkal helyettesíti és így ellentmondásra akar jutni. Szerinte ez tényleg sikerül is neki, azonban bizonyításába akaratlanul is téves feltevések csúsznak be s így ez nem elfogadható. A XVIII. században a párhúzamosok elméletére vonatkozó kutatásokról már egész kötet jelenik meg Gotthelf Kaestnertől. Foglalkoztak a problémával Bernulli, Lambert, d'Alembert, Fourir, Lagrange. Legnagyobb eredményt ért el Legendre, aki felismerte, hogy a XI. axióma teljesen egyenlő értékű azzal a föltevéssel, hogy a háromszög szögeinek az összege 2 R. Az axiómára vonatkozó bizonyítása azonban téves. Hazánkban Bolyai Farkas, János épesapja, próbálta e tételt bizonyítani. Később megérlelődött benne azon meggyőződés, hogy ezt bizonyítani nem lehet. Meg kell még emlékeznünk Schweikartról, mint Bolyai János előhirnökéről, kiben már megszületett az új geometriai rendszerek megalkotásának gondolata, de ezt felhasználni nem tudta; meg kell emlékeznünk Gaussról, a XIX. század legnagyobb mathematikusáról, aki olyan nagynak tartotta az euklidesi geometria tekintélyét, hogy új geometriai rendszerre vonatkozó eszméivel nem mert fellépni.

1 Az első, akit az új geometriai rendszerek felfedezőjének, megalapítójának: tekinthetünk, Bolyai János volt. A XI. axióma bebizonyítását tűzte ki ő is céljául s e munkálkodása közben tette meg nagy felfedezését 1823-ban. Ez évben írja atyjának: — „Olyan felséges dolgokat hoztam ki, hogy magam is elbámultam" ; „Mindaz, amit eddig küldöttem, csak kártyaház a toronyhoz képest."

2 1 Bővebb történeti áttekintés: Dr. Sutok József: Bolyai János. A tér absolut igaz tudománya. 1897. Előszó. 2 Schmidt Ferenc; Bolyai Bolyai János életrajza. 1897.