Kegyes tanítórendi katolikus gimnázium, Nagykároly, 1893
— XX — Felteszszük ugyanis, hogy о képlet helyes, ha a halad- vány n tagból áll; ha most be tudjuk bizonyítani, hogy akkor is helyes, ha (n -(- 1) tagból áll, akkor e képlet n-nck minden értéke mellett helyes marad, vagyis általános érvényű. A (n —j— 1) első tag összegét kell tehát meghatároznunk, ezt pedig kapjuk, ha az n első tag összegéhez még az (n -j- l)-edik tagot adjuk. Az (n -f- l)-cdik tagot au+i-vel jelölhetjük s értéket az 1) képletből nyerjük, ha n helyett (n -j- l)-et helyettesítünk, tehát: a<í+ i = a, -f- n D'Aj -|- — f“2~“ D2a, azonban s(n + 1 = s(n + a(n+ 1 tehát s(nV i = [i a* + n (n—1) , 1. 2 )a, n (n—1) (n—2) 1. 2. 3 \)%] + [a, + n D'a, + D*a,] =-(-+! )a,+ ■L<g--;>-|lD’„.+ n (n~1X,n~28>+ 8 " ("-=Ц D4 П + 1 , (n -f 1) nM1„ , (n I l)n (n—1),^ j I I C) ^ c4 \ 1^3 Ugyanezen egyenletet kapjuk akkor is, ha a 3) egyenletben n helyett (n l)-t teszünk; ami azt bizonyítja, hogy a 3) alak akkor is helyes, ha a haladvány (n +1) tagból áll. De a 3) képlet helyes, ha n = 1, mert s^ csakugyan egyenlő a,-el de ha n = 1 értékre helyes, helyes lesz ha n = 1 + 1 = 2, akkor is ha n = 2 -j- 1 = 3 stb. tehát általános érvényű. Példa. Keressük ki e másodrendű számtani haladvány: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...... húsz első tagjának összegét. E feladványban a, = 1; D'a, =2; ТРа, = 1 és n = 20 s(*> = 20 + ~ J9 2 + 2(J-g9- g18 = 20 + 380 4 1140 = 1540 Tehát a busz első tag összege: 1540.
