Kegyes tanítórendi katolikus gimnázium, Nagykároly, 1877
s b: c — n -j- d vagy b — cn -|- d C hol d ismét agy uj maradék, mely c-nél kisebb; itt is a fönnebbi okoskodást folytatva az egyenletek egy láncolatát fogjuk kapni, melynek alakja: a = mb -j- c b = ne -j— d c = pd -j- e f = sg + h g = th a hol a és 6-nek közös osztója I) egyszersmind a maradékoknak: c, d, e, h stb közös osztóját fogja képezni. Az utolsó egyenletet tekintve világos, hogy /) egyszersmind g, f, b, c, a ... számoknak is közös osztója. Nevezetes azon külön eset, midőn a és 6-nek közös osztóját csak az egység képezi; akkor a és b viszonylagos törzsszámoknak vagy közös osztó nélküli számoknak neveztetnek A fönntebbi alakzatban e számok igen könnyen megismerhetők, mert az utolsó maradék h — 1. E számokra nézve áll a tétel: Ha a és b viszonylagos törzsszámok és к egy tetszés szerinti harmadik szám, akkor ak és 6-nek minden közös osztója egyszersmind к és 6-nek is közös osztója lesz. Ennek bebizonyítása végett szorozzuk a fönnebbi alakzatot 6-val, megjegyezve, hogy f = sg -f- 1; lesz: ak = mbk -f- ck bk = nck -j- dk ck pdk -j- ek fk = sgk + k. A föltét szerint D képezi ak és 6-nek közös osztóját és igy ak— mbk ck-ban is maradék nélkül foglaltatik és ezen okoskodást folytatva, végre azon eredményre jutunk, hogy I) fk és 76-ban, következőleg a kettő különbségében fk—sgk = 6-ban is maradék nélkül foglaltatik, ami bebizonyítandó volt. E tételből folynak a következő altételek: aj Ha a és 6 viszonylagos törzsszámok 6-vel szemben, akkor ak és 6 is viszonylagos törzsszámok. ■ bj Ha a és 6 viszonylagos törzsszámok, s ha ak 6-vel osztható, akkor 6 is osztható 6-vel.
