Református gimnázium, Miskolc, 1903
- Í8 Á geometria összes tételeit dedukció útján nyerjük. A középiskolából ismeretes geometriai tételek közül itt csak a Phytagoras tételét, mint a legegyszerűbbet, de amely az infinitesimalis geometriában is - végtelen kis derékszögű háromszögre alkalmazva - igen előkelő szerepet játszik, idézzük. Ha a derékszögű háromszög derékszögű csúcspontjából az átfogóra merőlegest bocsátunk, akkor a háromszögekre vonatkozó hasonlósági tételekből vont következtetések felhasznalásával azt találjuk, hogy az említett derékszögű háromszögnek mindkét befogója, geometriai középarányos az egész átfogó és az átfogónak azon darabja közt, mely az illető lefogó mellett fekszik. Ha ezt a tételt mindenik befogóra nézve egyenlőségalakban irjuk fel s a két egyenlőséget összeadjuk, az összeadás után nyert algebrai alakzat fejezi ki P. tételét. A dedukció igen sok esetben, pl. valamely feladat adott feltételeiből kiszámított s a feladat megoldásának nevezett formulák helyességének biztos kritériuma. Ha pl. a ferdeszögű háromszög odalait és egy szögét valami módon megadott feltételekből kiszámítjuk, melyeknek helyességét a priori ellenőrizni nem tudjuk, akkor ha eme kiszámított formulákra nézve a háromszögekre általánosan érvényes cosinustételt helyesnek találjuk, világos, hogy a feladatot jól fejtettük meg. A felsőbb matematikában általánosan használatos és szükséges a szimbólumokkal való operáció. Hogy a szimbolikus jelzés hasznát egy esetben lássuk, vezessük le az n elemből ismétlés nélkül képezett összes permutációk számát. Tudjuk azt, hogy két elemnek ismétlés nélkül képezett permutációja = 2 = 1. 2. Három elemé —6=1 2.3. Jelöljük most az n elemből ismétlés nélkül képezett permutációk számát szimbolikusan P ; i-nel, amit nem ismerünk. Ennek a jelzésnek megfelelőleg az n — 1 elemből képezhető összes permutációi komplexusok száma P n — i. Ha most a P n — i számú komplexusból egy tetszésszerinti és n — 1 elemet tartalmazó komplexiót kiválasztunk és ehhez egy n-dik elemet csatolunk, akkor az által, hogy ez az n-dik elem az első, máso dik...., n-dik helyre kerülhet, n számú és n elemből álló különböző komplexiót kapunk. Mivel pedig ha ugyanezt az eljárást a P n — i számú mindenik csoporttal megtesszük, akkor az n elemből alkotható összes permutációk számát kimerítettük, ennélfogva az n elemből képezhető összes különböző permutációk száma: P„ = n P„ —-1 Ez az alakzat, melyet elemi meggondolással kaptunk, már magában foglalja azt a módot, melylyel a P„ explicit értékét nyerhetjük. Ez a formula u. n. rekurzív formula. Ugyanis, amennyiben n helyébe n—1, n—2,..., értékeket helyettesíthetünk: P„ = n P n -1 = n (n -1) P„ - 2 = n (n-1) (n -2) P n _ 3 = ... = n (n— 1) (n—2)... 3. 2. 1 = 73 ! A P„ értékét még úgy is megkaphatjuk, hogy a P r = rP r-i (r = n n— 1, ...3, 2.) értékeket egymás alá irjuk. E szerint P n -nP„- l Pn —1— (n — 1 ) P n —2 Pn — 2 = (n 2) P n —3 P 3 P 2 = 3 P 2 = 2. 1
