Református gimnázium, Miskolc, 1903

— 12 -II. A matematikai tárgyalás és bizonyítás módszerei. A mennyiségtan nemcsak arra törekszik, hogy ujabb és ujabb számsorozatokat állítson elő, hanem arra is, hogy egy újabban definiált számtartományban olyan struktúrájú matematikai formulákat állapítson meg, melyek a régi számtartományban érvényesek voltak. Ez a törekvés kettős szempontból történik. Először is, ha a különböző számtartományokban sikerül analóg formidákat megállapítani, akkor az egész tartomány áttekinthetőbbé lesz és az újabb számtestek vizsgálatát ilyennemű formulák megállapításával lehet kezdeni. S másodszor, eme formuláknak az a hasznuk van, hogy birtokukban a matematika kerekdeddé, szabályossá válik. Hogy az érintett törekvés megvalósulási módját kissé megvilágíthassuk, induljunk ki egy egyszerű példából. Az elemi algebra azt, tanítja, hogy szorzatot úgy hatványozunk, ho^y tényezőit felemeljük az illető hatványra és az így nyert hatványokat összeszorozzuk. Ami azt jelenti, hogy a szorzás és a hatványozás kommutatív műveletek. IIa négyzetre emelésről és két tényezőről van szó, hol a tényezők természetes egész számok, akkor a hatványozás fent jelzett „szabályát" az .... " J (a£>)

3 == a

2/)

2 formula fejezi ki, melynek helyességét a hatványozás eredeti défini ciójának és a szorzás kommutatív törvényének felhasználásával úgy mutatjuk ki, hogy e formulából kiindulva azonossághoz, identitáshoz jutunk. Ugyanis a hatványozás definíciója szerint (ab)* = ab. ab — a . n. b . b ö

26

2, mely utolsó kifejezés azonos a formula jobboldalával. Áttérve a pozitív egész számokból vonandó négyzetgyökkivonásra, mint általánosságban az irracionális számok tartományában előirt, műveletre, az a kérdés merül fel, hogy szorzatból miképen vonunk négyzetgyököt? Amennyiben ennél a kérdésnél az előbbivel szemben az az analógia áll fenn, hogy csupán a hatványozás szót kell á négyzetgvökkivonás szóval helyettesíteni, közel fekszik az a gondolat, hogy szorzatból úgy vonunk négyzetgyököt, hogy mindenik tényezőből kivonjuk és az így nyert négyzetgyököket egymással megszorozzuk. Formulában : l'ub = l/'a Vb. Eme formula helyes voltának bizonyítása is a négyzetgyökkivonás definíciója alapján az azonosság tételére támaszkodik. Ha ugyanis kitudjuk mutatni, hogy a hatványozás előbbi szabályának felhasználásával s négyzetre emeléssel mindkét oldalon azonos alakot kapunk, akkor nemcsak állításunk helyessége bizonyos, de arra a kérdésre is feleletet kaptunk hogy négyzetgyökök szorzatát miképen kell hat ványoznunk. Mindkét oldalon négyzetre emelve: Vb f es ab — ( Va )"( Vb f — uh