Református gimnázium, Miskolc, 1903

— 13 -S ezzel állításunk igazolva van. — Az identitásnak a maga egyszerű ruhájában, pl. abban az esetben, hogy A=A, semmiféle különösebb jelentősége és becsértéke nem tűnik szemünk elé, legfeljebb csak azt tudjuk, hogy eme kijelentés megcáfolhatatlan, való s éppen ezért filozó fiai magaslaton álló igazság:.- de ha valami matematikai s matematikai alakba öltöztetett állításból helyes mennyiségtani műveletek alkalmazása által identitáshoz jutunk, akkor kell, hogy az az állítás is, melyből kiindultunk, feltétlenül igaz legyen, mivel csakis feltétlen igazságból juthatunk abszolút igazsághoz Ezzel bemutattuk azt, hogv a szorzás és a négyzetgyök kivonás éppen olvan kommutatív műveletek, mint a szorzás és a hatványozás, vagyis sikerült megállapítani, hogy az irracionális számok körében lehet a pozitív egész számokra érvényes és ezzel analog formulát konstruálni. De egyszersmind az is világos, hogy az identitás tétele (vagy elve) a matematikának milyen nagy erejű bizonyítási módszere. Az algebra elemeiben többször találkozunk a bizonyításnak emez egyszerű módszerével, mely a felsőbb mennyiségtan mezején is sokszor megjelenik ; de az a körülmény is különös érdekességet kölcsönöz neki, hogy az analitikai geometria, habár algebrai operációval is, geometriai tételeit gyakran ezen az utón juttatja érvényre. Természetes dolog, hogy a matematikai bizonyítás módja az identitás elvével nincs teljesen kimerítve. A matematika nagy és díszes épülete annyira mozaikszerű, hogy az egyes részek különböző alkotású oszlopokra támaszkodnak, vagyis más szóval, a különböző természetű állításoknak megfelelőleg ezek az állítások igazmondásának sokfajta kritériumára van szükségünk. A bizonyításnak egv másik módja az u. n. ,,Dedukcióadabszurdum." Lényege abban áll, hogy valamit állítunk és emez állítás helyességéről úgv gvőződünk meg, hogy az állításunkkal ellenkező állítás lehetetlenségét bizonyítjuk be. Jelen esetben is, mint, előbb, egy egyszerű, könnyen megérthető példából indulunk ki Ha u i. azl akarjuk bizonyítani, hogyha P nem teljes négyzet, különben pedig természetes egész szám, akkor négyzetgyöke nemcsak hogy egész, d^ még racionális szám sem lehet, a „Dedukció ad abszurdum" módszeréhez folyamodunk. Ha ugyanis feltesszük, hogy a P négyzetgyöke racionális szám, azaz, ha az eredeti állítás ellenkezőjének igaz voltából indulunk ki, akkor ez az állítás helyes matematikai operáció közvetítésével ahhoz az abszurdumhoz ve^et, hogv az egész P—egv egyszerűsíthetlen törttel. Az algebra is, a geometria is számos olyan tételt ismer, melynek bizonyítása ilyen módon történik. Hogy a geometriából is említsünk egy példát : Azt a tételt, hogy két sík egymást egyenes vonalban metszi, úgy bizonyítjuk, hogy föltételezzük, hogy a metszési vonal görbe; mivel pedig a görbevonal definíciójából következik, hogy rajta meg lehet adni három, egymáshoz végtelen közel fekvő pontot, melyek nem feküsznek egy és ugyanazon egyenesben, — következnék, hogy az illető két síknak három nem egy egyenesben fekvő pontja volna közös; de ez nem lehetséges, mivel ez esetben a két sík egybeesnék. A harmadik példát a felsőbb mennyiségtanból vesszük. Említettük már, hogy vannak algebrai — és transcendens számok. Minden algebrai