Református gimnázium, Miskolc, 1903

hatunk elő, a középiskolából ismeretes és a végtelen, szakaszos tize

k des törteknek közönséges tört alakjában való előállítására alkalmazót» végtelen geometriai sor összegképletének felhasználása. Az a mód melylyel a végtelen geometriai sor összegeképen a végtelen, szakaszos tizedes törteket közönséges tört alakban tudjuk kifejezni, ahhoz a szintén igen nevezetes gondolathoz vezet, hogy számokat végtelen sorok is definiálhatnak. A végtelen geometriai sort, mint a végtelen sorok legegyszerűbb alakját, a középiskolában tanuljuk ; ennek azonban végtelen sor jellegében való teljes kibontakozása csakis a felsőbb mennyiségtan mezején történhetik. A végtelen sor nemcsak számdetinició minőségében játsza a főszerepet, hanem főképen abban is, hogy vele függvényeket definiálunk. Mellőzve azt a körülményt, hogy már a természetes számok sora sem zárul be egy utolsó természetes számmal — a végtelen sor felemlítésével eljutunk a matematika egyik legkényesebb, de egyúttal legszebb pontjához: a végtelenség fogalmához. A végtelenség legegyszerűbb — hogy úgy mondjam — polgári fogalma abban nyilvánul, hogy egy egyenes vonalat képzelünk magunknak, melyet végnélkülinek gondolunk és ha a Sirius csillag távolságával, mint hosszegységgel mérjük is ezt az egyenes vonalat, a másik végéhez sohasem juthatunk el. Matematikai értelemben nem szükséges éppen az égitestek közvetítéséhez folyamodnunk, hanem a végtelent saját véges asztalunkon is eltudjuk gondolni ; ugyanis a métert, melynek végességén senki sem kételkedik, gondolatban (feldaraboló eszköz hiánya miatt) a milliméternek milliomod, meg milliomod részére eltudjuk osztani, anélkül, hogy az osztás valaha befejeződnék. Az osztásnak ez a matematikai módja teljesen különbözik a fizikai osztásétól, mely utóbbi tudomány osztásának határául atomokat fogad el. Ilyen értelemben a matematikának nincsenek atomjai, ámbár vannak különböző rangú végtelen kis mennyiségei, hanem itt az osztás művelete teljesen tulj-toiws. Eme fejtegetések kapcsán egyszerre két fontos matematikai fogalmat érintettünk : a végtelenség és a folytonosság fogalmát. Láttuk, hogy a végtelenség véges darabon érzékíthető, melylyel azonban a folytonosság logalma jár együtt, ila t. i az osztást vég nélkül folytatjuk, akkor az elosztandó részek mindinkább közelebb fektisziiek egymáshoz, az egyik rész mindjobban hozzásimul a másikhoz. Ezt a tényt más szóval úgy fejezhetjük ki, hogy a már atomokká kicsinyített osztandók sűrűsége hovatovább nagyobbodik. Az osztást végezetre is be kell fejeznünk. De ama határ, melylyel a további osztásnak véget vetünk, egyáltalán nem azonos a fizika atomjával. A mi határunk egészen más, a végtelenség fogalmának felhasználásával nyert érték. A végtelenség és a határ fogalmának élesebb színekben v.iló megvilágítását a későbbieknek tartva fenn megjegyezhető, hogy eme gondolatok előidézője a végtelen geometriai sor, melynek bizonyos feltétel teljesítése mellett véges, számban pontosan kifejezhető, meghatározott értéke van. Ha a végetlen geometriai sort még egyszer vesszük tekintetbe, azt találjuk, hogy itt az üsszeadandók száma végtelen és ezen végtelen sok tag összege akkor, ha az első tag véges és a hányados abszo-