Evangélikus Leánygimnázium, Kőszeg, 1941

8

elő, de annyit már itt meg lehet mondani, hogy egy számnak önmagával való szorzatát négyzetnek nevezzük és a betű, vagy szám jobbvállához illesztett kis 2-es számmal jelöljük:

a . a = a2

A második hatvány „négyzet“ elnevezése így egészen kézenfekvő.

A szorzás első alaptörvénye az ú. n. kommutatív törvény, a tényezők felcserélhetőségének törvénye. Összehasonlítás kedvéért röviden megadjuk ennek a törvénynek szokásos bizonyítását, amely a szorzatban foglalt egységek kétféle megszámlálásán alapszik.

Az ab szorzat azt jelenti, hogy b-1 a-szor kell venni összeadandóul. írjuk le tehát b-t egymás alá a-szor és adjuk össze.

b = 1 -f- 1 -j- 1 —(— . . . -j- 1 —f- 1 (b-szer)

b= 1 + 1 -f 1 + . .. + 1 -f 1

(a-szor) ő=l + l + l + -- -+ l + l

b b -f- • • • + b (a-szor) —

= a-f a + a-f ... + a

összevonva

ab = ba

(b-szer)

Itt a sorban a számú egyenletet írtunk fel, az egyenletek jobb oldalain mindenütt b számú 1-es van felírva. Minthogy a számú sor van, azért a jobb oldalon minden oszlopban a számú 1-es van. A bal oldalon a számú b-t adtunk össze, ezek összege ab, a jobb oldalon pedig oszlopként végeztük az összeadást. Minden oszlop önmagában a számú egységet tartalmaz, összege a, és mivel b számú ilyen oszlopunk van, azért a jobb oldali összeg végeredményben b-szer a, azaz ba. Minthogy pedig mindkét esetben a jobb oldalon álló összes egységeket számláltuk össze és az összeadás eredménye nem függ az összeadandók sorrendjétől, azért ab=ba.

Területekkel ugyanezt a bizonyítást a következőképpen végezzük. A 2. képen lévő két téglalap területe ab, illetve ba, csak a két terület egyenlőségét kell megmutatnunk. Az egybevágóságot még nem tanultuk, azért a tanulókkal megrajzoltatunk külön papíron egy ugyanakkora téglalapot és ollóval kivágatjuk. Ezt ráillesztik egymásután mindkét téglalapra és megállapítják, hogy a két téglalap területe ezzel a harmadikkal és így egymással is egyenlő:

ab = ba.

Egyik harmadik osztályos tanítványom, amikor ezt a tételt tanultuk, önkéntelenül felkiáltott az órán, hogy nem is kell a harmadik téglalapot kivágni, „hiszen úgy is látjuk, hogy a két téglalap egyenlő!“ Teljesen igaza volt. Az a belátás, hogy a téglalap területe nem függ annak helyzetétől, vagy attól, hogy melyik oldalról nézem a téglalapot és így melyik