A Magyar Hidrológiai Társaság II. Országos Vándorgyűlése III. kötet, Árvízvédelem – Belvízvédelem (Pécs, 1981. július 1-2.)
egyenes ordinátának négyzetes eltérése minimális legyen, igy az 2 E < (Y ± - A Q - C^ X .) } kifejezés minimumát keressük.A minimum feltétele e kifejezés a Q és a^ szerinti első deriváltjának eltűnése, amiből következik, hogy J (x i - x) (y ± - y) a = ^ (3) n 2 E (x - x) i=l 1 a o = y - a 1 x (4) Ezután vizsgáljuk meg a paraméterbecslés hibáját. Ezt a /2/ egyenletre közvetlenül nem tudjuk meghatározni, ezért alakítsuk át a legkisebb négyzetes becslés egyenletének me gfelelő formába. Ha belátjuk, hogy ezzel a modellel kapott paraméterbecslés ekvivalens a lineáris regressziós paraméterekkel, akkor ezek szórásának becslésével megkapjuk a lineáris regressziós paraméterek szórásának becslését. Előállítjuk az LKN becslés kov arianciamátrixát, melynek átlójában levő elemek megadják a becsült paraméterek szórá snégyzeté t. Egészítsük ki a /2/ egyenletet egy bizonytalansági tényezővel /n db megfigyelési pont esetén / Y=a oe+a 1x+§ (5) és vonjuk össze a jobb oldalán levő első két tagot: 1 x, 1 = • • + É Habevezetjük az £ mátrix és az a paramétervektor jelét, akkor megkapjuk az LKN becslés alapegyenletét: 2 = X a + G (6) a (t+1) időpontbeli és t időpontbeli vízhozamok hányadosainak ismert vektora, X mátrix x i elemeit a befolyó és a kifolyó vízmennyiségek hányadosai adják, igy ez is ismert elemű mátrix.G hibasorozat elemeit megkapjuk, ha képezzük a becsült paraméterek segitsé——~ - — •— —— • • gével számitott és mért y.^ vizhozamarányok különbségét 6n = " C ao + °l xn } Ez a rendelkezésünkre álló n pont lineáris regressziós egyenestől mért távolságot jelenti 2. ábr a . Igy e szórásnégyzete 1=1 1 n (7) Ezután térjünk rá az a paraméterbecslésének problémájára. /6/ egyenletből kiindulva a legkisebb négyzetek segítségével megkeressük az a paraméter optimális értékét. Belátjuk, h°9y a mérési adatsorra adott becslések és a valóságos mért értékek közti eltérések négyzetösszege minimális, azaz lineáris modellek esetén még kis elemszámú mintára is torzítatlan és efficiens, minimális szórású becslést ad. A veszteségfüggvényt az G véletlen hibasorozat kovarianciamátrixának nyoma adja meg. 83 *
