Hidrológiai tájékoztató, 1989
2. szám, október - DIPLOMATERV PÁLYÁZATOK - Szél Sándor: Kaszkád modellek a hidrológiai modellezésben
A determinisztikus hidraulikai megközelítés mellett a dolgozat tartalmazza még a sztochasztikus hidraulika területéről származó bolyongáselméleti alapokon nyugvó megközelítést [1], illetve a kettő összevetését az alkalmazhatóság szempontjából. 3. A vizsgált modellek lényegi vonásai A vizsgált determinisztikus modellek mindegyike az egydimenziós vízmozgás leírására általánosan elfogadott és alkalmazott Saint—Venant-féle differenciálegyenlet-rendszerre támaszkodik (részletes levezetést lásd pl.: [2]-ben. Ennek a fajlagos oldalmenti térfogatáram és a szelvénybeli sebességeloszlás egyenlőtlenségét kifejező korrekciós tényezők nélküli alakja: 0V Sh (1) St —+ 0v + KSf—S„=0 öx Sx II III IV (2) SA 0Q I— —=0 0t 0X ahol h [L] — a vízmélység, t [T] — az idő, x [L] — a keresztszelvény hosszmenti koordinátája, v [L-T1] — a szelvénybeli középsebesség, A [L !] — az áramlás irányára merőleges szelvényterület, Sí [—] — a súrlódási disszipáció, So [—] — a mederfenék esése, g[L-T~ 2] — a nehézségi gyorsulás és Q[L-T~ 3] — a mederben mozgó hozam. Az (l)-et dinamikai egyenletnek, a (2)-t folytonossági egyenletnek hívjuk. A modelltípusok tematikai megközelítésük alapján három fő csoportra oszthatók aszerint, hogy a fenti egyenletrendszer hányadrendű matematikai approximációját vesszük alapul. Poncé és Simons [3] nyomán a következő csoportosítást követtük: Hullámmodell típus: Kinematikus hullám Diffúziós hullám Dinamikus hullám (l)-ből figyelembe vett rész: IV III+IV 1+II+III+IV A kinematikus hullámmodell a dinamikus hullámmodell elsőrendű matematikai approximációját valósítja meg, míg a diffúziós hullámmodell a dinamikus hullámmodell másodrendű matematikai approximációját szolgáltatja. Mindig szem előtt kell tartani azonban — főként a megoldásra kerülő feladatnál felmerülő határfeltételek különféle típusaira gondolva —, hogy míg a kinematikus hullámot leíró differenciálegyenlet-rendszerben a vízfolyás hossza mentén az információ terjedése egyirányú és sebességének nagysága egy jól meghatározott véges mennyiség, addig a diffúziós hullámot leíró differenciálegyenlet-rendszerben az információ mindkét irányban végtelen gyorsan (parabolikus típusú), a dinamikus hullámot leíró differenciálegyenlet-rendszerben pedig mindkét irányban véges sebességgel terjed (hiperbolikus típusú). A vázolt három fő modelltípus további modellekre bontható aszerint, hogy leíróegyenleteik egyes összetevőinek megfelelő együtthatóit a számításra kerülő vízfolyásszakasz teljes hosszára és a számítási idő egészére kiterjedően linearizáljuk-e (lineáris feladat), vagy ezt nem megengedve, figyelembe vesszük a megfelelő együtthatók megoldástól való függését is (nemlineáris feladat). Nyilvánvalóan a második esetben a közelítés jobb, de a számításigény ennek megfelelően többszörös is lehet. A kinematikus hullámmodell esetében egy ilyen együtthatóként jelenik meg a C(Q) ún. konvekciós tényező, a diffúziós hullámmodell esetében a C(Q) konvekciós és D(Q) diffúziós tényező. A dolgozatban sor került még a diffúziós hullámmodell Ponce-étól [3] eltérő származtatásának részletes vizsgálatára, melyet a teljes Saint—Venant egyenletrendszer linearizálása segítségével nyerhetünk [4, 5], Megjegyezni kívánom, hogy ezen az úton is a nemlineáris diffúziós konvekciós egyenlethez jutunk, de az együtthatók — a dolgozatban részletesen levezetett módon — valamelyest eltérően állíthatók elő. A dolgozatban bemutatásra került továbbá, hogy a hidrológiában elterjedten alkalmazott árhullámképáthelyező modellek, a Kalinyin—Miljukov—Nash-féle kaszkádmodell, valamint a Muskingum-eljárás milyen módon valósítja meg az előzőekben bemutatott háromféle matematikai approximáció valamelyikét. 4. A feladat keretében kidolgozott árhullámszámító eljárások fő jellemzőinek leírása A teljes Saint—Venant-féle egyenletek numerikus megvalósítását, vagyis a dinamikus hullámszámító eljárást a külső konzulens, dr. Bakonyi Péter (VITUKI) bocsátotta rendelkezésemre. E számítási eljárás fő jellemzői: a vízmozgást leíró nemlineáris differenciálegyenlet-rendszer a véges differenciák implicit módszerével differenciaegyenlet-rendszerré alakítjuk át (a Preismann séma felhasználásával), az így létrejövő egyenletrendszert egy speciális eliminációs eljárással, az ún, double-sweep módszerrel oldjuk meg, a nemlinearitást pedig a kvadratikus konvergenciát biztosító Newton—Raphson iterációs eljárással vesszük figyelembe. Ily módon a Saint—Venant egyenletek • (zlx 2, zJt 2) numerikus approximációját kapjuk [7]. A dolgozat keretében kidolgozásra került a diffúziós hullámszámító eljárás, mely a véges differenciák implicit módszerére épül (a Crank— Nicholson séma alkalmazásával), és a nemlineáris feladat megoldását teszi lehetővé Ó(Ax 2, At 2) approximációs rendet biztosítva [8], valamint a kinematikus hullámszámító eljárás, mely lényegében a Muskingum-eljárás Cungeféle általánosításának felhasználásával nyerhető, és ez a nemlineáris esetre általánosítható [6], Annak vizsgálatát, hogy egy a vízmozgás leírására hivatott differenciálegyenlet milyen jól közelíthető az • Gdx 2, zlt 2) numerikus approximációjú számítási eljárással, vagyis milyen mértékű és értelmű numerikus hibák várhatók egy analitikus megoldással való összevetés esetén, a diplomaterv beadása óta készített TDK dolgozat tartalmazza [9]. 5. A tervfeladat eredményeinek összegzése Árhullámok levonulásának számítása során a gyakorlat számára legfontosabb az árhullámcsúcs nagyságának és levonulási sebességének a helyes becslése, így a fentiekben ismertetett számítási eljárások összevetése is e két legfontosabb paraméterre történt meg oly módon, hogy a dinamikus hullámszámító eljárással nyerhető eredményeket fogadtuk el a feladat „pontos" megoldásának. Az összehasonlítás eredményeit röviden összegezve megállapítható, hogy bizonyos hidraulikai, medergeometriai és üzemi feltételek teljesülése esetén igen jól alkalmazható, és megbízható számítási eljárások nyerhetők az egyszerűsített modelltípusokkal is, melyek előnye elsősorban gyorsaságukban és egyszerűségükben rejlik. Ennek részletesebb és példákon keresztüli bemutatása a diplomatervben hozzáférhető. IRODALOM [1] Kontur I.: A lefolyás általános lineáris kaszkádmodellje. Hidrológiai Közlöny. 1977. 9. 404—412. [2] Kozák M.: A szabadfelszínű nempermanens vízmozgások számítása digitális számítógépek felhasználásával. Akadémiai Kiadó. Bp. 1977. [3] Ponce, V. M. and Simons, D. B.: The propagation of Dynamic waves in open channel flow. (Subject A. d.) International Association for Hydraulic Research, 1977. 11
