Hidrológiai Közlöny, 2021 (101. évfolyam)

2021 / 1. szám

Sándor B. és társai: Mennyire örvénymentes a lefolyó örvény?

47

egyenleteit, a különbség a (33) örvénytranszport egyenletben jelenik meg, ami már dinamikai megfontolásokból került felírásra. A lefolyóhoz rendelt (23)-(24) feltételek alapján a következő peremfeltételeket rendeljük a (32)(34) egyenletrendszerhez r = /?-ben:

U(R) = -Q

2Rnh{R)’

(35)

U(R) = V(R)tanA.

(36)

A (32)-(34) egyenletrendszer tetszőleges h(r) mélységeloszlással, mint változó együtthatófüggvénnyel, a mélységátlagolt sebességekre a következő, szimbolikus megoldást adja:

U = —, V — — + — f rhcLr. (37)

Megoldásunk az örvénymentes modell (17) mélységátlagolt sebességmezejétől az érintő irányú, V sebesség második tagjában tér el, amelyben a tetszőleges h(r) mélységeloszlásnak és a sugár szorzatának az integrálja jelent meg. Az állandó, h = H vízmélységet a (28) definíció értelmében

h0= H, T] = 0 (38)

feltételek mellett rögzíthetjük, vagyis a vízszintes mederfenék mellett nyugalmi vízfelszín előírásával. Ekkor a (37) sebességmező

U = —, V = — + C3r (39)

alakban írható, ahol

C3 = °-f. (40)

A megoldás egy potenciálos örvény és egy merevtestszerű örvény együttese. A mélységátlagolt örvényesség (32) alapján

vagyis állandó értéket kaptunk, ami a merevtestszerű forgás következménye (a potenciálos örvény pedig örvénymentes).

A (39) sebességmező sugárirányú komponenséhez rendeljük a (35) peremfeltételt, ismét a

C

o —

Q_

2n

(42)

összefüggésre jutunk. A (36) peremfeltételből a következőt írhatjuk fel a (39) sebességkomponensekre, immár a (42) állandó felhasználásával:

C, + C3R2 + ——— cot A — 0.

(43)

Szükséges egy további feltétel a feladat korrekt kitűzéséhez. Választásunk az állandó mélységátlagolt örvényességre esik, jelöljük ezt <f0_vaU így a (41) összefüggés alapján

C3 = 7- (44)

amelyet beírva (43)-ba, kapjuk hogy

Cx = - — cot/1 . (45)

1 2nH 2 v ’

Behelyettesítjük az állandókra kapott (42), (44) és (45) összefüggéseket a (39) sebességkomponensekbe:

U = -Q i

2nH r '

V

(^coti4+M2

\2nH 2

•K

+

<o r

(46)

A (27) sebességekkel összevetve a megoldást az látszik, hogy az állandó, mélységátlagolt örvényesség előjelétől függően változtatja a szabad örvényhez tartozó örvényerősséget, illetve rendeli a merevtestszerű örvény járulékát a megoldáshoz. A menetemelkedés-tangens függvény (az U/V hányados) rendezés után

tan a =

tan A

(47)

alakban írható fel. A (47) összefüggés nevezőjében lévő dimenziótlan kifejezésre vezessük be az

nRzH<;0

<3

(48)

jelölést. Az s mennyiség a mélységátlagolt örvényesség, a térfogat és a vízhozam kombinációja. Mivel utóbbi két mennyiség biztosan pozitív, ezért £ előjelét egyértelműen meghatározza az örvényesség előjele. Vezessük még be az

(49)

dimenziótlan sugarat. A (48)-(49) összefüggések felhasználásával a (47) menetemelkedés függvényt

tan a —

tan A

l+£tan A(l-r*2)

(50)

alakban írhatjuk, ahol — oo < tan A < oo, 0 < r* < 1. Átírjuk a (46) sebességeket is dimenziótlan alakba:

ÍT = —^7, K* =-(—+ l)Á + r* (5i)

£r* Ve/ r

ahol

V

(52)

a sebességek a sugárral és a mélységátlagolt örvényességgel dimenziótlanodtak. A kifolyó áramlásban a vízhozam, a geometriai paraméterek és a mélységátlagolt örvényesség összefüggenek. Megoldásaink tetszőleges e - ra tartalmazhatnak fizikailag nem megvalósulható eseteket. Fizikailag realizálható megoldásokhoz az (50) menetemelkedés függvénynek a vizsgált tartományon, vagyis r* G (0,1)-en folytonos függvénynek kell lennie. Ezzel egyenértékűen azt is mondhatjuk, hogy az (51) érintőirányú sebességnek nem lehet zérushelye, hiszen akkor az áramlás iránya megfordulna. Ezen megállapítások a

D = 4s tan A (e tan A + 1),

(53)

diszkriminánsnak és az

'1,2 —

= ± 1 +

(54)

zérushelyeknek a vizsgálatára vezetnek. A kimerítő vizsgálathoz nemcsak azokat az eseteket kell megvizsgálnunk amikor egyáltalán nincs zérushely, hanem meg kell engednünk a zérushelyeket az r* G (0,l)-en kívül. Az egyszerű-