Hidrológiai Közlöny, 2021 (101. évfolyam)

2021 / 1. szám

46

Hidrológiai Közlöny 2021. 101. évf. 1. szám

Rögtön látszik, hogy az örvénymentes megvalósítása lefolyómodellünknek a sekélyvízi logaritmikus spirálissal lehetséges, vagyis az r = fi helyen definiált (24) menetemelkedés lesz minden r-ben jellemző. A (17) mélységátlagolt radiális sebesség képletéből h = H állandó vízmélység és a (23) feltétel behelyettesítésével

érték adódik. Ezt felhasználva az állandó menetemelkedés (22) képletéből számíthatjuk, hogy

Cx = ——cotA. (26)

Mindezek után, a (25)-(26) állandók behelyettesítésével a (17) mélységátlagolt sebességmező

U = = (27)

2nH r ZnH r '

alakban fejezhető ki. Az áramvonalak képe és a mentemelkedés az 1. ábrán látottak szerint alakul. A következő modellben megnézzük, hogy milyen változást eredményez az állandó örvényesség megjelenése.

ADVEKCIÓS MODELL ÖRVÉNYTRANSZPORT EGYENLETTEL

Az örvénymentességen és összenyomhatatlanságon alapuló kinematikai modellek után ebben a fejezetben már hidrodinamikai egyenlet adja a számítás alapját. Egy tisztán advekciós modellt definiálunk, vagyis azt feltételezzük, hogy az áramlást elsődlegesen a folyadéktömeg tehetetlensége vezérli. A mélységátlagolt sekélyvízi egyenletekből indulunk ki, amelyekben az advekciós tag struktúrájában a síkáramlási egyenletekkel egyezően írható fel (Flokstra 1976, Borthwick 1993, Vrengdenhil 1994, Józsa 2001). Nem veszünk figyelembe sem diffúziós tagokat, sem pedig határfelületi csúsztatófeszültségeket, amelyek szintén a sekélyvízi egyenletek részét képzik. Ennek a közelítésnek a pontossága érzékenységi vizsgálatokat igényel. Itt és most csak annyit jelentünk ki, hogy kellően nagy tározótér és vízhozam esetén valóban az advekció irányíthatja az áramlást a diffúzióval szemben, a fenékcsúsztató-feszültség közreműködésének elhanyagolása már kevésbé megalapozott.

A dinamikai egyenlet értelmezéséhez vegyünk fel egy víztestet általánosan, a 3. ábrán jelölt változók szerint. A

A jobb oldal a vegyes második deriváltak felcserélhetősége miatt esett ki, így a (30) örvénytranszport egyenlet tetszőleges mélységeloszlásra érvényes. Belátható, hogy a (30) örvénytranszport egyenlet a (10) összefüggéssel definiált, ( mélységátlagolt örvényesség megmaradását fejezi ki. Az általános eset helyett azonban ismét forgásszimmetrikus, (14) alakú megoldást keresve a (30) örvénytranszport egyenlet az alábbi, az r változóra nézve közönséges differenciálegyenletre redukálódik:

(rU— +UV) = 0. (31)

r dr \ dr )

A (10) mélységátlagolt örvényesség a (14) forgásszimmetrikus változókkal

h vízmélységet egy nyugalmi h0 vízmélységnek és egy, a mozgás során a dinamikus egyensúly szerint kialakult rj felszínalaknak az együtteseként definiáljuk, jelen példa alapján

h = h0 — rj (28)

összefüggés szerint. Ekkor h0 a mederalakot leíró függvény lesz, T) pedig a nyugalmi vízszinttől való eltérést fejezi ki.

3. ábra. Sekély víztest oldalnézetből, a vízmélység értelmezésével

Figure 3. Side view of a shallow water body with interpretation of water depth

Az advekció sekélyvízi egyenletei mélységátlagolt sebességváltozókkal, polárkoordinátákban:

dr r

e-f

\ dy

r£I + -dr r

(5+f

\ —

* r d<p’

t3(rhU)

V dr

9(hm

d(p )

= o,

(29)

ahol az első két egyenlet a dinamikai egyenletpár, a harmadik pedig a folytonossági egyenlet, valamint g a nehézségi gyorsulási állandó. A dinamikai egyenletek csúsztató feszültségek híján alakilag a permanens Euler egyenletekre emlékeztetnek, a különbség a mélységátlagolt változókban és a nyomásgradiensben van. A nyomásgradiens helyén a nyugalmi vízszinthez viszonyított rj felszínalak gradiense szerepel, vagyis önmagában a mederalak nem ad járulékot ehhez a taghoz. Ezt azért hangsúlyozzuk, mert később lemondunk a felszínalak figyelembevételéről, ennek következményeit pedig a következő fejezetben tárgyaljuk.

A dinamikai egyenletpár rotációját véve áttérünk azok úgynevezett örvénytranszport alakjára:

(30)

lätrV) = UäV + v\ ’ r dr r V dr )

(32)

alakot ölt, amit beírva (31)-bz, az örvénytranszport egyenlet konzervatív alakjához jutunk:

1 dlrUO _ 0 r dr

(33)

A folytonossági egyenlet a változókkal:

(14) forgásszimmetrikus

1 d(rhU) _ 0 r dr

(34)

A mélységátlagolt örvénymentességi modell (15)-(16) egyenleteivel összevetve a jelen advekciós modell leíró