Hidrológiai Közlöny, 2021 (101. évfolyam)
2021 / 1. szám
44 Hidrológiai Közlöny 2021. 101. évf. 1. szám A LOGARITMIKUS SPIRÁLIS ÁRAMLÁS KINEMATIKAI MODELLJE SEKÉLYVÍZI FORMALIZMUSBAN Síkáramlásban a logaritmikus spirális előállítása jól ismert, és a szakirodalomban megtalálható, például (Németh 1963). Legyenek u(r, <p) és v(r, q>) a permanens síkáramlás sugárirányú és érintőirányú sebességkomponensei polárkoordinátákkal megadva. Jelölje v a sebességmezőt tömör alakban és legyen m(r, <p) a (skalárértékű) örvényesség. Az örvénymentesség feltétele a sebességmező rotációmentessége: _ 1 fd(rv) du\ „ (o = v x v = - í-tr-— = 0. r V or dtp/ A folytonossági egyenlet Vv = -( d(ru) r V őr d(p diA _ d(o) o (1) (2) alakban írható. Könnyű belátni, hogy az alakú, vagyis logaritmikus spirális áramvonalakhoz tartozó sebességmező kielégíti az (1) és a (2) egyenletet, vagyis az összenyomhatatlanság és örvénymentesség feltételét. Az áramlás forgásszimmetrikus, amelynek sugár - és érintőirányú sebességkomponense a középponttól távolodva a sugár reciproka szerint csökken, a középponthoz közeledve pedig a végtelen értékhez tart. Ez a szingularitás egyszerre jelent divergenciát és végtelen nagy örvényességet ezen az egyetlen pontból álló halmazon. A divergencia vertikális áramlásnak feleltethető meg a modellel közelített jelenségekben. A középpontbeli végtelen erősségű örvény a középponton kívül örvényességmentes áramlásban pedig a potenciálos örvény modellje. A logaritmikus spirális áramlás tehát egy forrás vagy nyelő és egy potenciálos örvény lineáris kombinációja. A forrás vagy nyelő erőssége c0, az örvényerősség cx. A logaritmikus spirális egyik különlegessége az állandó menetemelkedés: minden pontban a spirálisnak a spirális középpontjával egyező középpontú és a spirálist az adott pontban metsző körrel bezárt szöge állandó. Forgásszimmetrikus sebességeloszláshoz az áramvonalak a{r) menetemelkedése a radiális és tangenciális sebességek hányadosaként adható meg: tana(r)=^ (4) Behelyettesítve a (3) sebességkomponenseket, a tan a(r) = — (5) C1 állandó értéket kapjuk. Nevezzük az ehhez tartozó menetemelkedési szöget /1-val, vagyis a(r) — A = arctan— (6) Cl A (3) sebességmezőből és az áramvonalak (6) menetemelkedéséből az látszik, hogy négyféle áramlás valósulhat meg, amelyekhez páronként egyértelmű menetemelkedés tartozik. Adott értelmű menetemelkedés egy forrásos (c0 > 0) és egy nyelős (c0 < 0) esetet tartalmaz: A > 0, ha c0 > 0 és cx > 0, vagy c0 < 0 és ú < 0, A < 0, ha c0 > 0 és q < 0, vagy c0 < 0 és q > 0 (7) A logaritmikus spirális áramvonalak és a menetemelkedés az 1. ábrán látható, ahol az egyértelműség kedvéért a poláris bázisvektorokat is feltűntettük. Lábra. Logaritmikus spirális áramvonalak síkáramlásban, a menetemelkedés kétféle értelmével Figure 1. Streamlines of logarithmic spiral plane flow with two meanings of pitch A sekélyvízi formalizmusban vertikálisan összegzett vagy átlagolt módon értelmezhetjük a horizontális sebességmező komponenseit. Egy adott pontban az adott h mélységű folyadékoszlop, h> 0, (8) mélységintegrált sebességmezejének vagy fajlagos vízhozammezejének komponensei legyenek p és q, vektoros jelölésben q . A mélységátlagolt sebességmező komponenseit jelölje U és V, vektorosan V . A kapcsolat a két mező komponensei között (Józsa 2001) p = hU, q = hV. (9) Az áramlás mellett a folyadék mélységét is időben állandónak tekintjük, vagyis a felszíni hullámzástól eltekintünk, a vízfelszin vízszintes sík. A h mélységeloszlással így maga a topográfia is közvetlenül értelmezhető, ennek megfelelően a mélységeloszlás hatása és a topográfia hatása alatt ugyanazt értjük. Az örvényességet, amit ^-val jelölünk, a V mélységátlagolt sebességmezőhöz rendeljük, amely így egy h mélységű folyadékszál forgási szögsebességével azonosítható (Borthwick 1993, Józsa 2001): (•« Meg kell említenünk, hogy értelmezhető örvényesség a q fajlagos vízhozammezőhöz is (Flokstra 1976), jelölje ezt ü: fi=ivx(j =— *• ^ rh V dr dp\ dtp) dl) Az ü mélységintegrált örvényesség egy fluxus jellegű mennyiség rotációjával azonos, így a folyadékszál forgási szögsebessége nem rendelhető hozzá. Ráadásul - ahogyan Flokstra is fogalmaz (Flokstra 1976) - a hidrodinamikai egyenletek örvényesség változóra átírt formája, az örvénytranszport egyenlet a ( mélységátlagolt örvényesség változóra írható fel konzervatív alakban, vagyis ( lehet megmaradó mennyiség. A mélységváltozás hatása is ( segítségé-
