Hidrológiai Közlöny 2012 (92. évfolyam)
3. szám - Szigyártó Zoltán: Folytonos eloszlások új illeszkedés-vizsgálata – A Fisher–Szigyártó próba továbbfejlesztése
iZ/G^ÄT^^^ol^tono^loszlasd 29 - a mintából számítható z=z n=zn érték azonos kell legyen a z 0; n értékkel, - s az illeszkedés jóságára jellemző valószínűség pedig a független változó z 0; n értékénél fel kell vegye a lehetséges legnagyobb, P=l-es értékét. Ugyanakkor nyilvánvaló az is, hogy a mintából számítható egyetlen z n=z n értékhez az illeszkedés mértékére jellemző P=l-es valószínűség soha sem tartozhat, mivel mind a P(z<z 0; n), mind a P(z>z 0 ;n) szükségképen kisebb, mint 1. Nyilvánvaló azonban az is, hogy az (5) összefüggéssel definiált eloszlásfüggvényt felhasználva P(z<Zo ; n)+P(z>Zo;n)=F(Zo ;n)+l-F(Zo. n) = 1. Ami arra utal, hogy az illeszkedés megbízhatóságának a jellemzéséhez figyelembe kell venni mind a z<z 0.„, mind a z>z 0;n tartományt; annak ellenére, hogy a z=z n=z„ független változó érték e két tartomány közül csak az egyikbe eshet. Amiből nyilván az következik, hogy a z 0; n egyik oldalára eső z n=z n paraméter értékhez valamilyen módon hozzá kell rendelni egy olyan z* paramétert is, amely a z 0; n másik oldalára esik, s amelyik ezen kívül teljesíti azt a feltételt is, hogy Z*=Z0v,haz n=z 0: n. (10) Annak érdekében pedig, hogy a z* előzőek szerinti rögzítése mellett a (9) összefüggés valóban teljesüljön, az illeszkedés megbízhatóságára jellemző P F S z valószínűséget attól függően, hogy a z n a z 0; n melyik oldalára esik - a következőképpen célszerű definiálni: Ha z„ az 1 In értékű alsó határ és a z 0; n közé esik (vagyis, ha l/«<zn<z 0. n ) P F„ s=P(z n<z n)+P(z n> z* )=F(z n)+l-F( Z* )=l+F(z„)-( z-) (11a) Ha pedig z n 3 Z O n CS äZ 1 értékű felső határérték közé esik (vagyis, ha z U; n<r n<l ) Pf,sz=P(z„< Z; )+P(z n>z n)=F( z*)+1 -F(z„)= 1 +F( z' n )F(z n) (11b) Megjegyezve, hogy a z n z 0; n-hoz viszonyított helyének a matematikai úton történő jellemzésére (amikor ez szükség essé válik) a legc élravezetőbb az ^=z n-z Q. n, z n=z j (12) összefüggést felhasználni, amely pozitív akkor, ha a z n a Zq n es az eloszlás felső határértéke közé esik, s negatív akkor, ha äZ ä Z n 3 Zgn másik oldalára kerül. Mindezek után már csak az a kérdés, hogy miként is definiáljuk a Z* paramétert. Ennek az eldöntése aztán rendkívül egyszerű lenne akkor, ha a szóban forgó eloszlásfüggvény — a Fisher által levezetett (5) összefüggés — szimmetrikus lenne a z 0; n értékre (amit az előzőek során már említett tanulmányunkban (Szigyártó 1980) burkoltan bár, de sajnos feltételeztünk). Ilyen esetben ugyanis a matematikai statisztikában bevett szokás szerint a mintából meghatározott paraméternek nem az eltérésével, hanem az eltérés abszolút értékével számolnak. Azaz ha az eloszlásfüggvény a z 0; n értékre szimmetrikus lenne, az elvégzendő feladatnak H n (13 tott z=z I 1=z I 1 a z 0; n érték melyik oldalára kerül — természetesen mindég teljesülne az | Z0, nZ„h| Z«*Z0;„| (14) egyenlőség is. Amely felhasználásával (a z„=z„ és a z 0;n paraméter értékének a nagyságától függetlenül) a z 0; n és a z„ ismeretében a Z* paraméter értéke már számítható lenne. Esetünkben azonban ez az út nyilván nem követhető, mivel a Fisher által levezett, alsó és felső korláttal rendelkező (5) eloszlásfüggvény (ahogy arra az 1. ábra is utal) a z 0;n paraméter értékére soha sem szimmetrikus. Vagyis ha erre nem lennénk tekintettel, úgy, a számított Z* értéke esetenként (megengedhetetlen módon) a z n valószínűségi változó az alsó és a felső határával definiált értelmezési tartományán kívül kerülhetne. Jelenlegi alkalmatlansága ellenére azonban az alsó és felső határértékkel rendelkező és a z 0; n értékre szimmetrikus eloszlásnak lenne egy olyan sajátossága, amely utat mutathat problémánk megoldása felé. Nevezetesen ha a szóban * forgó szimmetria fenn állna, úgy nem csak a z n és a Z n z 0; ntól mért távolsága, hanem e távolságoknak a z 0; n és a megfelelő oldali határérték közötti távolsághoz viszonyított aránya is azonos lenne. Ennek az adottságnak az aszimmetrikus körülményekre történő általánosításaként fogható fel tehát az, hogy a továbbiakban követelményként a Z n kiszámítására ugyanezt szabály fogadjuk el\ amely nyilván alkalmazható akkor is, ha a z 0; n értékétől a két határérték mindég különböző távolságra van. Mindebből pedig (az S paraméter (12) szerinti értelmezését figyelembe véve) az következik, hogy a Z n kiszámításához alapszabályként a következőket fogadjuk el: - Abban az esetben, ha z n<z 0;„ (vagyis ha 5<0) Z n számítható a 0;n -0:n Z0:n ~ H a Hf~ Z0;n (15a) összefüggésből, úgy hogy H a =l/n és H f=li - abban az esetben pedig, ha z„>z 0; n (vagyis ha S>0), z* számítható a Zr~ Z0, n . = Z0,r~ Z l (15b) H, •H. ' í 0;n *0;n összefüggésből, szintén úgy hogy H a =\ln és H f =1Vagyis a z n paraméternek a (4) összefüggéssel meghatározott értékére alapozva az illeszkedés valószínűségének a meghatározásához szükséges z n és a z' értéke a következő módon számítható: hipotézis teljesülésének az ellenőrzését tekinthetnénk. Amely esetben — attól függetlenül, hogy a mintából számíz„=z„ es zÜ =z M+(z 0 ;„-zJ1- z„.„ haSO 0;n -1/n z„=z nés Z* n= { Z o víüüli^- haS>0 1 -z„._ (16a) (16b)
