Hidrológiai Közlöny 2012 (92. évfolyam)
3. szám - Szigyártó Zoltán: Folytonos eloszlások új illeszkedés-vizsgálata – A Fisher–Szigyártó próba továbbfejlesztése
30 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2012. 92. ÉVF. 3. SZ. Végül itt kell megjegyezni, hogy bár az előző két egyenlet egyértelmű összefüggést ad az illeszkedés valószínűségének a kiszámításához szükséges paraméterek meghatározásához, mégis egyesek számára talán zavaró lehet, hogy a z n értékéhez viszonyítva a z* hol kisebbre, hol meg nagyobbra adódik. Ezért célszerűnek látszik bevezetni a két említett paraméter közül mindég a kisebbiket jelölő z a és mindig a nagyobbikat jelölő z f paramétert, amelyek természetesen a következő összefüggésekből számíthatók: z a=z n és z{=Z ha ScO továbbá z = Z és zf=z n ha S>Q. (17a) (17b) Befejezésként, a z a és z f birtokában, a tennivaló már egyszerű. Nem kell ugyanis mást tenni, mint első lépésként az (5) összefüggéssel definiált F(z) eloszlásfüggvény felhasználásával (az előzőek szerint) ki kell számítani az F(z)=F(z a), és az F(z)=F(z b) függvényértéket. Ezt követően p edig (a (11 a) és a (1 lb) összefüggést figyelembe vév e) a |Ppl=P(z n<z a)+P(z n>Zf)=F(z a)+1 -F(z f)= 1 +F(z a)-F(^ | (18) összefüggéssel meg kell határozni az illeszkedés megbízhatóságárajellemző P FS z valószínűséget. Illeszkedés-vizsgálat tetszőleges, folytonos eloszlás esetén Az előzőek szerint exponenciális eloszlás estén a bemutatott illeszkedés-vizsgálat a minta elemszámától függetlenül elvégezhető úgy, hogy az illeszkedés megbízhatóságára jellemző valószínűség a Pp,sz =l értéket akkor veszi fel, ha az empirikus eloszlásfüggvény az eloszlásfüggvényre a lehető legjobban illeszkedik. - az eredeti eloszlás esetében az eloszlás és az empirikus eloszlás függvényértékei közötti különbségek az exponenciális eloszlásra átszámított minta esetében is változatlanul érvényesek maradjanak. E két feltételt lehet aztán kielégíteni oly módon, hogy az eredeti minta elemeinek az exponenciális eloszlásba történő átszámítását - célszerűen a 1=1 paraméterrel rendelkező, legegyszerűbb exponenciális eloszlást alapul véve - úgy végezzük el, ahogy azt a 4. ábra szemlélteti. Vagyis úgy, hogy az átszámítást a F(£) = £(77,.) = l-e'"', i= l,2,...,n (19) egyenletre alapozva végezzük el. így juthatunk tehát arra a végeredményre, hogy az eredeti F(x) eloszlásra érvényes x, minta elemeket végül is a (20) 4. ábra. Folytonos, de nem exponenciális eloszlásból származó minták elemeinek átszá-mítása a 1=1 paraméterű exponenciális eloszlásból származó minta elemeire Azonban igen gyakran az illeszkedés-vizsgálatot nem egy exponenciális eloszlás, hanem valamilyen más eloszlásfüggvény típus - például hazai adottságaink mellett, az évi legnagyobb jégmentes vízállások estében egy normális eloszlás (Szigyártó 2009) - alapul vételével kell elvégezni. Ezeknél az exponenciális eloszlástól különböző eloszlásoknál aztán a bemutatott illeszkedés-vizsgálat az alábbi megfontolásokra támaszkodva végezhető el: Ahhoz, hogy az exponenciális eloszlásra kidolgozott eljárást más, folytonos eloszlás esetén is alkalmazni lehessen, nyílván arra van szükség, hogy az erre az eloszlásra vonatkozó mintát oly módon lehessen átszámítani egy exponenciális eloszlás mintájába, hogy - az eredeti minta elemei közötti kisebb-egyenlő-nagyobb viszonyok az exponenciális eloszlásra vonatkozó mintában is érvényesek maradjanak, továbbá, hogy összefüggéssel kell a E(y) exponenciális eloszlásra érvényes hj mintaelemekre átszámítani. Ezek birtokában pedig magát az illeszkedés-vizsgálatot úgy kell elvégezni, mintha a mintát eredetileg is a E(y) exponenciális eloszlásból vettük volna (Szigyártó 1980). Az illeszkedés-vizsgálat gyakorlati végrehajtása Az kétségtelen, hogy ma világszerte nem túlzottan sok olyan vízimérnök van, akit érdekel a matematikai statisztika elméletének a továbbfejlesztése. így e tanulmány eddig tartó része bizonyára inkább a matematikusok érdeklődésére számíthat. Viszont kétségtelen az is, hogy a hidrológiával foglalkozó mérnök előbb-utóbb szembe kerül olyan feladattal, mint például a különböző valószínűségű árvízszintek meghatározása. Ilyen esetekben pedig — ha munkáját kellő színvonalon kívánja elvégezni — válaszolnia kell arra a kérdésre is, hogy mennyire megbízható az általa használt eloszlásfüggvény. így (ha erre a matematikai statisztika területén, mint jelen esetben is, már rendelkezésre áll egy megfelelő eljárás), meg kell határoznia azt is, hogy - bármekkora is a minta elemszáma - az éppen használt eloszlás milyen mértékben illeszkedik az empirikus eloszlásfüggvényre. Az ilyen vizsgálatok elvégzését támogatja aztán az, hogy azok a képletek, amelyeket a gyakorlati számítások során használni kell, a tanulmány előző részében mind be vannak keretezve; továbbá ezt kívánja megkönnyíteni az elvégzendő számítások alábbiakban bemutatott összefoglalása is. Az eljárás ismertetése során induljunk ki abból, hogy a megelőző munkálatok során az illeszkedés-vizsgálat előkészítéséhez szükséges minden lépést megtettünk. így egyedüli feladatként már csak az maradt hátra, hogy (a vizsgálandó valószínűségi változóra vonatkozó n elemű mintára alapozva) magát az illeszkedés-vizsgálat is elvégzzük. Ennek során pedig a tennivalók a következők: 1. Mindenegyes x, minta elem esetében a vizsgálandó eloszlás F(x) eloszlásfüggvényének a felhasználásával meghatározzuk az F(\,) eloszlásfüggvény értéket. 2. Mindegyik F(x,) eloszlásfüggvény értéket a (20) összefüggés felhasználásával átszámítjuk a hj értékre 3. Az n elemszám figyelembevételével a (8) összefüggésből kiszámítjuk az z 0 ;„ értékét. 4. Az n elemű mintából a (4) képlet felhasználásával meghatározzuk a z n értékét. 5. A (12) összefüggéssel kiszámítjuk az S paraméter értékét. i T 1 E(y): X»1 paraméterű, t eiponenclills eloszlásfüggvény I nr-tnn-flíj) T) [«1, 294 [ -^b 1 i 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0 «.0 y független változó (i»-2,400 • 6 , ,0 -4,0 -S fi -2,0 x független változó F(x): bármely folytonos eloszlásfüggvény F(4i)=0,728
