Hidrológiai Közlöny 2011 (91. évfolyam)

1. szám - Patay István–Montvajszki Márk: Belviztestek matematikai modellezése

PATAY I. - MONTVAJSZKJ M.: Belvíztestek matematikai modellezése 47 A vízfelszín alakját az R sugárvektor körbeforgatásával kapjuk, és annak a szöghöz tartozó hossza adja meg. Az ábrajelöléseivel az egyes sík negyedekre: Ä(i) = - (z, - x,)sino (a = 0- m/2) R(

2) = z,+(z,-x

2)cosa (ar = ——>;r| R(i) = z

1+{z

1-x

2)cosa \a = 7r->~\ R

{4

)=x

i+(z

2 -x,)sin a = — -*2jt\ t^] 3 y A szabad felszínt az R sugárvektor által súrolt területként kapjuk. Az első sík negyedre: j nil j x/2 2 = ? = ^ J(x,+(z,-x,)sinor) da [5] ^ a=0 ^ ct=0 A határozott integrál megoldása: A(\) = T

x\

2 Ho +x

l{z

]-x

] I- cosor]

0

2 + (z, - )" amelyből: 4) = 4 xi

2 ~(

zi ~

xi)

+ g (

zi ~)

2 f

6l Az xi és y, értékeket [4] egyenletek alapján behelyettesítve megkapjuk a keresett, a szabad víz felszínét megadó egyenletet tetszőleges y feltöltöttség esetére: 4 a ír-r y r a ÍHÍ [7] Az [5] egyenletet alkalmazva a további sík negyedekre: Al) = , "^2 ) o (

Z1 _

X2) ' (z

2 -x

2)+^-(z

2 -x

2)

2 [8] (2) A - 71 2 (3) - ^ Z2 *2 = 4^ ~

Xl)

+ g (

Z2 ~

Xl) ' A teljes szabad vízfelület értelemszerűen: 4 1=1 A [7] egyenlet mintájára a koordinátaértékek y- függvényét,helyettesítve: 4 c 8 i Hí ím {f t 4«)M = í Hí y l

4 (y c ÍHÍ íHí •[9] A térfogatfüggvény meghatározása y • sin or • cos or + or A H magasságú folyadéktest össztérfogata: v= \A{y)-dy, [10] y=0 amely a meder negyedek víztérfogatainak összegeként is felírható: V = Í ]A

{i

)(y\dy [11] 1=1 y=0 Ha nincs mederszimmetria (általános eset), a térfogatfüggvényt is az egyes tér negyedekre kell felírni. Ennek megfelelően az első tér negyedre: y v<ü(y)= n

2'lrdy

+

nJ 4a" dy-S ol a y " dy Tagonként elvégezve az integrálást: rmM- " y 2 2 , 4 a" +1 2 ' - * + " , + 1 c'a- , +1 k k-n H y I 1 2 a" -c* a" Természetesen egyszerűsödnek a számítások, ha az egyes tér negyedekben a mederesés eltérő (a, b, c, d értékek), viszont a görbületet kifejező hatványkitevők azonosak (n = m = k = i). Azonos görbületű, meder típusú belvíztestek Legyen egy kéttengelyű, meder típusú belvíztestre érvényes az n = m = k = i feltétel, az a, b, c és d tényezők pedig különbözzenek egymástól. Az egységes hatványkitevőt nnel jelölve a [3] egyenlet alapján: (y]\ X

2Jy]\ Z

lJyf T A szabad vízfelszín sugáregyenlete az 1. negyedre most: R(» = y" 5. ábra. Vázlat a víztest térfogatának számításához Egy y = h feltöltöttségű belvízmeder esetében (5. ábra) a víz-rfogatot a következőképpen számítjuk: A fenéktől (legmélyebb ponttól) y magasságban lévő dy vastagságú folyadékréteg térfogata: dV = A(y)-dy. 1 f 1 N a " + c — a " sin a _ \ _ [13] Az 1. meder negyed szabad vízfelszín-egyenlete [6] alapján: zl" a 4 ya vagy más formában: V I \ n + — í \ ü