Hidrológiai Közlöny 2006 (86. évfolyam)
4. szám - Lőrincz János–Imre Emőke–Trang Q. P.: A szemeloszlási entrópia
16 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2006. 86. ÉVF. 4. SZ. ahol Xj az i-edik frakció szitálási kísérlettel megállapított relatív gyakorisága. Szemeloszlási entrópia A keverék fajlagos entrópiája a (6) egyenlet alapján: I N Ci X X S = -—I. Y— In —= • In 2 Í=1 j= ] C, Cj Ez két részől áll: S = S o +AS N s0 = Z xi s0i 1=1 1 tf -—— X In Xj AS In 2 m 1 In 2 , =i Cj Cj In 2 Példaképpen számítsuk ki néhány frakció saját entrópiáját. Az 1-2 mm közötti frakció (23. frakció) átmérő-tartománya lmm. A benne lévő elemi cellák száma: 1 mm C = • = 2 A 2-4 mm 2 "wim A saját entrópia: _ ln 2 " _ 22|n 2 _ 22 • In 2 In 2 közötti frakció (24. frakció) átmérőtartománya 2 mm. A benne lévő elemi cellák száma: C = 2 mm = 2 A saját entrópia: S„ 2" 4 = mm In 2" 23 In 2 = 23 1 N i N — X In xí + T~r Z In Q In 2 ,=] In 2 , =i (10) (11) (12) (13) In 2 In 2 Látható, hogy az egymást követő frakciók saját entrópiája között 1 a különbség. Ez annak köszönhető, hogy az egymás utáni frakciók szélessége megkétszereződik, és a logaritmus alapszáma 2. Az is könnyen belátható, hogy ha az elemi cella szélessége nem 1" mm lenne, hanem más, de szintén a 2 egész kitevőjű hatványa, akkor a számítható saját entrópia ugyancsak egész szám lenne. 1. táblázat. Az i-edik frakció saját entrópiája S 0,i i 24 23 22 21 20 19 18 0 D mm 4-8 2-4 1-2 0.5-1 0.25-0.5 0.. 125-0.25 0.063-0.125 2-21-2-22 S0,i 24 23 22 21 20 19 18 0 ahol S 0 a talajkeverés előtti, vagy alap entrópiája (korábban szétszitált frakciókat nem keverjük össze, hanem egymásra „rétegelj ük"), AS a keveredés/ keverés tényéből származó entrópia növekmény, S 0 l a frakciók saját entrópiája. A frakciók saját entrópiája Ha feltesszük, a frakción belüli eloszlás egyenletes és az i-edikk frakció C, elemi cellát tartalmaz, akkor az elemi cella gyakorisága a frakción belül: 1 (14) Cj és a frakció saját entrópiája: (15) Normalizált entrópia koordináták A relatív alap-entrópia A: ^ _ ~ Sq min (16) max S 0 mj n A relatív alap-entrópia A értéke 0 és 1 között változik. Könnyen látható, hogy a relatív alap-entrópia A értéke nem függ az elemi cella választásától, más elemi cella választás esetén a frakciók saját-entrópiájának értéke tolódik el S o i. A normalizált entrópia növekmény B: B- ^ (17) ln(N) Normalizált entrópia diagram, maximális és minimális normalizált entrópia-növekmény vonalak Bármely szemeloszlási görbe egy ponttal jellemezhető az A, B normalizált entrópia koordináták függvényében. E pontok elhelyezkedése csak bizonyos korlátos tartományokban lehetséges. A 3. ábrán látható, hogy a 3 frakcióból álló keverékek szemeloszlási görbéi az entrópia-diagramban hogyan helyezkednek el. Az ábra az A = 0.5 vonalra szimmetrikus. A normalizált entrópia növekmény B akkor zérus, ha csak egyetlen frakcióból áll a talaj. N> 3 felett az entrópia diagram alakja hasonló, a maximum vonal közel azonos, a diagram alsó része - a zérus-helyek száma - azonban a csúcsok számával nő. 3. á Maximális és minimális normalizált entrópia növekmény vonalak A normalizált entrópia növekmény B akkor zérus, ha csak egyetlen frakcióból áll a talaj. Az 1. ábrán csak a legnagyobb frakcióból álló 1-frakciós állapotot tüntettük fel, azok az esetek, amikor a talaj egyéb 1-frakciós állapot-közeli állapotban van, az ábrán nem láthatók. Pontosabban: egy önkényes megállapodás alapján a minimális entrópia vonalat olyan frakcióhiányos keverékeknél vesszük fel, amelyeknél az első és utolsó frakció kivételével az összes hiányzik, azaz minden x,- nulla az x, és x N kivételével. Az ehhez tartozó B nem lesz független az érintett frakciószámtól N, de szimmetrikus lesz az A = 0.5 egyenesre.
