Hidrológiai Közlöny 2005 (85. évfolyam)
1. szám - Szilágyi József: A diszkrét lineáris kakszkád modell kiterjesztése nem egész számú elemi tározókra
38 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2005. 85. ÉVF. 1. SZ. e' ~ -f = -k. A (8)-(10) egyenletekből egyetlen tározó elemre (függetlenül, hogy az teljes, vagy pedig tört) a következő írható h(t) T 0 0 azzal a feltételezéssel, hogy a tározó eredetileg relaxált, azaz S(t 0 = 0) = 0, és, hogy/időben konstans. Egy időtől függő tározási együttható mindenképp kerülendő, mert az azt a fizikailag nehezen magyarázható állapotot idézné elő, hogy az időkoordináta nulla pontjának megválasztásától függne egy adott tározási szinthez tartozó kifolyás értéke (2)-ben. (11) logaritmusának időbeni differenciálja az . n-1 , /= ~ (12) összefüggést adja, amely csak az n = 1 választással állandó. (12) demonstrálja tehát, hogy (1) tört n-ekre való kiterjesztése maga után vonja a tározási együttható időtől való nem kívánatos függését. Mindezekből az következik, hogy egy időben állandó tározási együttható megtartása (jóllehet eddig még nem definiált módon), az (1) egyenlet által megadott egység-árhullám egy közelítését nyújtja majd n tört értékeire. A tározási együttható (Jkj) egy triviális definiálása az x = n < 1 esetre a következőképp történhet , k k x = (13) x hiszen az átlagos tartózkodási időt k' ] adja, és az egy tört tározóra kisebb kell, hogy legyen, mint egy teljesre (azaz, amikor n = 1). A tározási együttható ily módon történő időtől független megadása azt eredményezi, hogy a tört tározó pontosan úgy viselkedik, mint egy megnövesztett tározási együtthatójú teljes tározó. Ez azt is eredményezi, hogy egy ilyen, most már inhomogén kaszkád, állapotmátrixa könnyen definiálható egy n* x n* [ahol n* = inl(n + 1)] mátrixként F = -k k -k O 0 o k — (14) amelynek int(ri) x int(n) dimenziójában megegyezik a homogén kaszkád rendszer mátrixával. Itt int az egész rész jele, és x = n- int{n). A (14) által definiált inhomogén kaszkád állapot-átmeneti mátrixa, O, pl. szukcesszív konvolúcióval nyerhető. Megjegyzendő, hogy az inhomogén állapot-átmeneti mátrix nemcsak az utolsó elemében fog eltérni a homogén esettől, hanem annak egész utolsó sorában. A (9) mátrix-exponenciális műveletet pl. a Maple program segítségével elvégezve kis n* értékekre, megállapítható, hogy a O utolsó sora az inhomogén kaszkád csökkenő dimenziójú (a dimenzió csökkenés mértéke egységnyi) egység-árhullám függvényeit (osztva A x-szel) tartalmazza hasonlóan (10)-hez, ahol is a homogén kaszkád egységimpulzus válaszai (osztva A-val) láthatók ugyanolyan elrendezésben. Megjegyzendő, hogy O n ,n Elég tehát a O n ,1 elem meghatározása szukcesszív konvolúció alkalmazásával k, t J vx 0 (»'-2)! ek Tkek A'T )dT{ 15) amely algebrai átalakítások után a következő alakra hozható: k(kt) n ,1 (n-2)\(k x-k) e(*,-*)< + {(k-k x)tfn'[(n -2)T(n -2,(k -k x)t)-{n -2)l|, (16) n > 2; k x * k Itt a nem-teljes gamma függvényt (két argumentummal) az alábbi definiálja OD r(«,x)= J/"V dt (17) Megjegyzendő, hogy amikor n* = 2 és k x nem egyenlő A-val, akkor a kaszkád két tározóból áll, egy teljesből és egy törtből. Kényelmi konvencióként azt vezethetjük be, hogy a tört tározó elemnek mindig a kaszkád utolsó elemeként kell szerepelnie. így az állapot-átmeneti mátrix ill. az alább definiált bemenet-átmeneti vektor utolsó sora különbözik csak a homogén kaszkádhoz képest. Diszkrét adatok esetén (8) a következő alakban írható /+A/ S(t + At) = <&(t + At,t)S(/)+ + At, T)Qu(T)dT (18) amely a jel-adat rendszerben (amikor is a bemenetet konstansnak tételezzük fel két mintavételi időpont között) az alakra hozható (Szöllősi-Nagy, 1982). . A bemenet állandósága miatt a F(A/) bemenet-átmeneti vektort /+A! E(A/) = JO(7 + At- x)Qdr (20) i definiálja, amelynek elemeit növekvő rendű nem-teljes gamma függvények [azaz (17) komplemense a teljes gamma függvénnyel normalizálva és A-val osztva] alkotják. Az /-ik elem tehát a következő alakban írható (Szöllősi-Nagy, 1982): r,(A/) = l-e -kAt (-1 I >=0 (kAty ß (21) S(t + At) = 0(A t)S(t) + E(A/)m(0 (19) ahol figyelembe vettük, hogy a nem-teljes gamma függvény első argumentuma egész szám. Diszkrét esetben a homogén kaszkád C(A/) bemenet-átmeneti vektora a növekvő rendű kaszkádok folytonos átmeneti-válasz (azaz egység-ugrás válasz) függvényeiből, g(0, állnak a t = At helyettesítéssel (Szöllősi-Nagy, 1982).
